空间向量的数量积运算高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptxVIP

1.1.2空间向量的数量积运算

学习目标

1.理解空间向量夹角的定义.

2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律,会求空间向量的数量积.

3.能够运用空间向量的数量积解决简单的向量问题.

新课引入

在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.

新课讲授

注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.

②零向量与任意向量的数量积等于0.

两个向量数量积的性质

①若，是非零向量，则⊥⇔_______.

②若与同向，则·＝______；若反向，则·＝________.

③特别地，·＝____或||＝___.

④cos〈，〉＝_______.

⑤|·|≤||·||

a·b＝0

|a|·|b|

－|a|·|b|

|a|2

（判断向量垂直）

（向量的模长公式）

（向量的夹角公式）

(1)向量a在向量b上的投影

先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图向量c称为向量a在向量b上的投影向量．

α

c

(2)向量a在直线l上的投影

如图向量c称为向量a在直线l上的投影．

α

c

l

思考：在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影.类似地，在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？向量a向直线l的投影呢？向量a向平面β的投影呢？

(3)向量a在平面β上的投影

(4)直线与平面所成的角

如图向量a与向量a′的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．

β

A

A′

B′

a′

B

数乘向量与向量数量积的结合律

(λa)·b＝_______，λ∈R

交换律

a·b＝____

分配律

(a＋b)·c＝_________

λ(a·b)

b·a

a·c＋b·c

例4如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心.求证:OB1⊥平面PAC.

课堂总结

回稿本节课的内容，说说下面的知识点：

(1)空间向量的夹角、投影;

(2)空间向量数量积的性质及运算律.

当堂检测

A

B

3.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的菱形，CC1=2，∠C1CB=∠BCD=∠C1CD=60°.

(1)求CA1的长；(2)求证:CA1⊥B1D1.

3.如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的菱形，CC1=2，∠C1CB=∠BCD=∠C1CD=60°.

(2)求证:CA1⊥B1D1.