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模块六圆
第一讲与圆有关的概念及性质
知识梳理夯实基础
知识点1:与圆有关的概念
1.圆的定义
如图,在平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,则另一个端点A所
形成的封闭曲线叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA的长为r,叫做半径.
以点O为圆心的圆,记作“O”,读作“圆O”.
注:圆也可以看成到定点的距离等于定长的点的集合.
2.圆的有关概念
同心圆圆心相同、半径不同的圆叫做同心圆。
等圆能够重合的两个圆叫做等圆
圆的任意一条的两端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫
半圆
做半圆。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,用符号“”表示。大
弧
于半圆的弧叫做,如ABC;小于半圆的弧叫做,如.
AB
等弧在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。
弦连接圆上任意两点的叫做弦,如弦AC
弓形由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形。
直径经过的弦叫做直径,如直径BC。
圆心角顶点在的角叫做圆心角,如∠AOB。
顶点在圆上,并且都与圆还有另一个交点的角叫做圆周角,
圆周角
如∠ACB。
3.确定圆的条件
不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
4.圆的对称性
(1)圆的轴对称性:圆是轴对称图形,对称轴是圆所在的平面内任意一条过圆心的直线.
1.因为直径是线段,而对称轴是直线,所以不能说“圆的
对称轴是直径”,而应该说“圆的对称轴是直径所在的直
线”或“圆的对称轴是经过圆心的每一条直线”.
2.圆的对称轴有无数条.
(2)圆的旋转对称性:圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少度,都能与自身重合,旋转中心为圆心,
圆的这种性质叫做圆的旋转不变性.
(3)圆的中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是圆心.
知识点2:垂径分弦
1.垂径定理:垂直于弦的直径,并且弦所对的两条弧。
注意:垂径定理使用时必须具备两个条件:一是直径;二是垂直,二者缺一不可。
2.垂径定理的逆定理:平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
注意:定理中括号内“非直径”这三个字不能省略,否则定理不成立。
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关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合,解题时往往需要添加辅助线,
一般过圆心作弦的垂线,构造直角三角形.
知识点3:圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
1.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧,所对的弦相等,所对弦的弦心距相等。
2.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中,
有一组量相等,那么其余各组量都分别相等。
可简记为:在同圆或等圆中,圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等。
注意:
(1)定理(推论)成立的前提条件是“在同圆或等圆中”,缺少这一前提条件定理(推论)不成立。
(2)在这个推论中,四组量中只要有一组量“不等”,其余各组量也“不等”。
知识点4:圆周角定理及其推论
定
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的
理
常
见
图
形
结
∠ACB
论
1.在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角,相等的圆周角所
推对的弧也相等。
论2.半圆或直径所对的圆周角是;
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