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6.5数值微分(续)2.三点公式(n=2):过节点,的Lagrange插值多项式为分别代入,得三点公式6.5数值微分(续)截断误差为6.5数值微分(续)作业:5,6,7,11上机作业:实习题6:1用复化柯特斯公式计算积分和并与复化梯形公式及复化辛普生公式计算结果比较。第六章数值积分与数值微分6.1数值求积基本概念6.2插值型求积公式6.3几种低阶求积公式的余项6.4复化求积公式6.5数值微分6.1数值求积基本概念定积分在实际计算时会遇到困难:(1)原函数不能用初等函数表示,如(2)原函数太复杂,不便于计算。(3)f(x)是表格函数,没有解析表示式。因此,有必要研究定积分的数值计算问题。数值积分也是微分方程数值解法的基础。一、数值求积的基本思想定积分的几何意义:由所围成的曲边梯形的面积。6.1数值求积基本概念(续)6.1数值求积基本概念(续)由积分中值定理知:对连续函数,在区间至少存在一点,使上式给出了I的计算方法,由于不知道的具体取值,无法求得,所以不能用上式直接计算出I。但给出了近似计算I的思路:近似,就可近似计算I。6.1数值求积基本概念(续)例如:取,则有(矩形公式)取,则有(梯形公式)写成更为一般地,有式(1)6.1数值求积基本概念(续)为求积节点,且,称为求积系数。求积公式(1)的截断误差为也称为求积余项。式(1)6.2插值型求积公式一、插值型求积公式设给定一组节点,且已知在这些节点上的函数值,则可求得的拉格朗日插值多项式其中为插值基函数。取,则有6.2插值型求积公式(续)记式(2)则有式(3)式(3)则称为插值型求积公式。其求积余项为式(4)其中,且与有关。6.2插值型求积公式(续)二、梯形求积公式在式(3)中,令n=1,则有(取)其中:所以(梯形求积公式)6.2插值型求积公式(续)三、辛普生求积公式在式(3)中,令n=2,则有(取)其中:所以(辛普生求积公式)6.2插值型求积公式(续)四、柯特斯求积公式在式(3)中,令n=4,取等距节点则有:(柯特斯求积公式)6.3几种低阶求积公式的余项按余项公式
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