随机过程：第四章 白噪声和正态随机过程.ppt

4.1.4正态随机变量的线性变换★正态随机变量的线性变换（续）式中，J为雅可比行列式，它定义为4.1.4正态随机变量的线性变换★正态随机变量的线性变换（续）由(4.1.17)式，可得所以4.1.4正态随机变量的线性变换★正态随机变量的线性变换（续）可见，经过(4.1.16)式的线性变换后，Y仍服从正态分布，其均值为Lm，协方差阵为LKLT。4.2.1一般正态过程★定义设随机过程X(t)，如果它的任意n维分布都服从正态分布，则称X(t)为正态过程。4.2.1一般正态过程★一维分布设X(t)为正态随机过程，对于任意的时刻t1，X(t1)是一个正态随机变量，它的概率分布密度为式中x1为X(t1)的取值，m1和分别为X(t1)的均值和方差。4.2.1一般正态过程★一维分布（续）X(t)的一维特征函数为将(4.2.1)式代入上式，得4.2.1一般正态过程★一维分布（续）随机变量X(t1)的n阶中心矩为式中(n-1)!!表示奇数连乘。4.2.1一般正态过程★二维分布正态随机过程X(t)在任意两个时刻t1和t2，X(t1)和X(t2)是两个联合正态的随机变量，它们的联合概率密度为4.2.1一般正态过程★二维分布（续）式中x1、x2分别表示X(t1)与X(t2)的取值，m1和m2分别为其均值，和分别表示其方差，r12表示X(t1)和X(t2)的相关系数。4.2.1一般正态过程★二维分布（续）正态随机过程X(t)相应的二维特征函数为4.2.1一般正态过程★二维分布（续）如果X(t1)与X(t2)互不相关，则r12等于零，那么4.2.1一般正态过程★二维分布（续）上式表示，两个正态随机变量如不相关，则必相互独立，这时的特征函数为4.2.1一般正态过程★二维分布的矩阵形式对于二维以上的概率密度表达式，可以采用矩阵形式来表示。定义4.2.1一般正态过程★二维分布的矩阵形式（续）定义协方差矩阵为则K的行列式为K的逆矩阵为4.2.1一般正态过程★二维分布的矩阵形式（续）那么式中T表示转置。4.2.1一般正态过程★二维分布的矩阵形式（续）如果把这些关系代入(4.2.4)式中，则X(t)的二维概率密度可表示为4.2.1一般正态过程★二维分布的矩阵形式（续）二维特征函数可用矩阵形式表示为式中4.2.1一般正态过程★多维分布X(t)的n维概率密度为4.2.1一般正态过程★多维分布（续）式中K为X(t)的协方差矩阵，Kii(i=1,2,…,n)为X(ti)的方差，而Kij=rijσiσj(i,j=1,2,…,n;i≠j)则为X(ti)与X(tj)的协方差。4.2.1一般正态过程★多维分布（续）X(t)的n维特征函数为式中4.2.1一般正态过程★多维分布（续）对于任意两个时刻ti与tj(i≠j)，若随机变量X(ti)与X(tj)不相关，即i≠j时，Kij=0，则协方差矩阵为4.2.1一般正态过程★多维分布（续）于是有和4.2.1一般正态过程★多维分布（续）代入(4.2.14)式中，得4.2.1一般正态过程★多维分布（续）上式表明，正态过程X(t)如果在不同时刻互不相关，则其n维概率密度等于n个一维概率密度之积。因此对于正态过程而言，不相关和独立的概念是等价的。另外，正态过程的n维概率密度只取决于一、二阶矩，因此它是比较简单的过程。4.2.2平稳正态过程★定义设X(t)是正态随机过程，如果它的均值为常数，相关函数RX(t1,t2)仅依赖于时间间隔τ(τ=t1-t2)，则称X(t)为平稳正态过程。4.2.2平稳正态过程★一维分布平稳正态过程X(t)的一维概率密度和特征函数与时间t无关，即有式中m和σ2分别为X(t)的均值和方差。4.2.2平稳正态过程★二维分布对于任意两个时刻t1和t2，随机变量X(t1)和X(t2)的协方差矩阵为式中τ=t1-t2，r(τ)为X(t1)和X(t2)的相关系数。4.2.2平稳正态过程★二维分布（续）而r为相关系数矩阵，即将(4.2.2