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解三角形范围问题专题

视角1.对边对角模型

对边对角模型是解三角形中最经典的题型，在三角形中，倘若知道任意一边与该边所对角的大小，我们就可分别利用正弦定理+三角函数或者余弦定理+均值不等式的方法找到相关范围.

例1.（2020年全国2卷）在中，

（1）求；

（2）若，求周长的最大值.

备注：关于此题第二问，标准的对边对角模型，还可以得到下列的相关问题

若,求面积的最大值.

若为锐角三角形，求的取值范围.

若为锐角三角形，求的取值范围.

相关解答比较简单，此处不再赘述.

视角2.正弦定理边角转化

在正弦定理中：

此时，我们并非一定需要对边对角，实际上，只要知道任意一边和一角，即可结合内角和定理得到一组边角定量关系，下面我通过例题予以分析.

例2.（2019全国3卷）的内角对边为，.

（1）.求角的值；

（2）.若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．

视角3.齐次边型分式结构

在这一部分中，我们经常会看到诸如：等结构，这种类型当然还可利用正弦定理转化为纯角结构，所以，我们只需要做的就是消元，把三个角消成一个角，或用均值不等式，或用一元函数处理.

例3.（2022新高考1卷）记的内角，，的对边分别为，，，已知．

（1）若，求；

（2）求的最小值．

例4．在锐角中，，则的范围是（???）

A． B． C． D．

视角4.余弦定理求角的最值

余弦定理的最大特色就是齐次分式结构，同时，在上的严格单调性保证了我们可以利用余弦函数的最值来找到角的最值.

若，倘若再能找到这样一个约束条件，代入余弦定理消掉，即可得到一个均值结构，利用均值不等式即可求得最值，下面通过例题予以分析.

例5.已知中，角的对边分别为.若，则的最大值为（?????）

A． B． C． D．

例6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则角A的最大值为（???）

A． B． C． D．

视角5.爪型三角形与等面积方法

如图，设为的平分线，则设，那么有等面积可得：，进一步可得：，于是可以看到，倘若我们知道角与角平分线的长度，则可得到的转化关系，配合均值不等式就可得到一些范围问题.

例9.（2022成都一诊）在中，已知角，角的平分线AD与边BC相交于点D，AD=2.则AB+2AC的最小值为___________.

视角6.恒等变换型目标函数

这类最值问题的特点是利用恒等变换化简函数，它们的目标函数往往不是上面的类型，而且有点“丑”，你需要做的就是耐心美化目标函数，直到找到可以入手的结构！

例15．已知在锐角中，角、、所对的边分别为、、，且满足，则的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

例16．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（???????）

A． B． C． D．