2023高考数列专题——数列的函数性质.docVIP

2023高考数列专题——数列的函数性质

一、数列的单调性

解决数列单调性问题的三种方法

(1)作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列；

(2)作商比较法：根据eq\f(an＋1,an)(an0或an0)与1的大小关系进行判断；

(3)函数法：结合相应的函数图象直观判断．

例1(2022·滕州模拟)设数列{an}的通项公式为an＝n2＋bn，若数列{an}是单调递增数列，则实数b的取值范围为()

A．[1，＋∞) B．(－3，＋∞)

C．[－2，＋∞) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，＋∞))

例2若数列{an}满足an＝－2n2＋kn－1，且{an}是递减数列，则实数k的取值范围为

跟踪练习

1、已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(n,3n＋1)，那么这个数列是()

A．递增数列 B．递减数列

C．摆动数列 D．常数列

2、请写出一个符合下列要求的数列{an}的通项公式：①{an}为无穷数列；②{an}为单调递增数列；③0an2．这个数列的通项公式可以是________．

3、(2022·绵阳模拟)在数列{an}中，a1＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝eq\f(n＋1,2)an＋1．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若存在n∈N*，使得an≤(n＋1)λ成立，求实数λ的最小值．

二、数列的周期性

解决数列周期性问题的方法

根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和．

例3、若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)(n∈N*)，则该数列的前2023项的乘积是()

A．2 B．－6

C．3 D．1

例4(2021·福建福清校际联盟期中联考)已知Sn为数列{an}前n项和，若a1＝eq\f(1,2)，且an＋1＝eq\f(2,2－an)(n∈N*)，则6S100＝()

A．425 B．428

C．436 D．437

跟踪练习

1、(2022·福州模拟)已知数列{an}满足an＋1＝eq\f(1,1－an)，若a1＝eq\f(1,2)，则a2023＝()

A．－1 B．eq\f(1,2)

C．1 D．2

数列的最大(小)项

求数列的最大项与最小项的常用方法

(1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项；

(2)通过通项公式an研究数列的单调性，利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)确定最大项，利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)确定最小项；

(3)比较法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＞0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或an0时，\f(an＋1,an)1))，则an＋1＞an，则数列{an}是递增数列，所以数列{an}的最小项为a1＝f(1)；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)＜0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或an0时，\f(an＋1,an)1))，则an＋1＜an，则数列{an}是递减数列，所以数列{an}的最大项为a1＝f(1)．

例5(2022·金陵质检)已知数列{an}满足a1＝28，eq\f(an＋1－an,n)＝2，则eq\f(an,n)的最小值为()

A．eq\f(29,3) B．4eq\r(7)－1C．eq\f(48,5) D．eq\f(27,4)

例6已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))n，则数列{an}中的最大项是第项．

跟踪练习

1、已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(n－2,2n－11)，前n项和为Sn，则当Sn取得最小值时n的值为________．

2、已知递增数列{an}，an≥0，a1＝0．对于任意的正整数n，不等式t2－aeq\o\al(2,n)－3t－3an≤0恒成立，则正数t的最大值为()

A．1 B．2

C．3 D．6

3、(2022·重庆模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，且满足S20180，S20190，对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，则k的值为()

A．1008 B．1009

C．1010 D．1