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高中数学精编资源
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高二第二学期期末练习卷
第Ⅰ卷
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,若集合满足,则可能是()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解指数不等式得到集合N,根据交集运算性质得,逐项判断即可.
【详解】因为,又,即,
因为,所以A与D选项集合不符合,
因为,所以B选项集合不符合,所以C正确.
故选:C
2.已知,则()
A. B.5 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数除法运算和复数模长求法直接求解即可.
【详解】因为,
所以,
故选:A.
3.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的美誉,用其名字命名的“高斯函数:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,也称取整函数,例如:,已知,则函数的值域为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求解函数的值域,在根据高斯函数的定义确定的值域.
【详解】解:因为,所以,则,所以函数的值域为,故的值域为-1或0.
故选:B
4.已知向量,的夹角为60°,且,则()
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对两边同时平方可得,由模长的计算公式代入可判断A,B;由向量夹角计算公式可判断C,D.
【详解】由可得:,
可得:,,
对于A,,故A不正确;
对于B,,故B不正确;
对于C,,
,,
故,故C正确;
对于D,,,
,故D不正确.
故选:C.
5.半径为2m的水轮如图所示,水轮的圆心距离水面m.已知水轮按逆时针方向每分钟转4圈,水轮上的点到水面的距离(单位:m)与时间(单位:s)满足关系式.从点离开水面开始计时,则点到达最高点所需最短时间为()
A.s B.s C.s D.10s
【答案】B
【解析】
【分析】由题意求得周期,进而得到,由水轮的圆心距离水面m,可求出,,即可知,令,解得即可得出答案.
【详解】水轮每分钟逆时针转动4圈,则函数的最小正周期为15s,则,
由水轮的半径为2m,水轮圆心O距离水面m,
因为,可得,,
所以,
当水轮上点P从水中浮出时x=0s开始计时,
令,解得,点P第一次到达最高点需要.
故选:B
6.已知中,角,,所对的边分别是,,,若,且,那么是()
A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】将化简并结合余弦定理可得的值,再对结合正、余弦定理化简可得边长关系,进行判定三角形形状.
【详解】由,得,
整理得,则,
因为,所以,
又由及正弦定理,得,化简得,
所以为等边三角形,
故选:B
7.若存在正实数y,使得,则实数x的最大值为()
A. B. C.1 D.4
【答案】A
【解析】
【分析】将转化为,利用基本不等式转化为关于x的不等式,然后解不等式可得.
【详解】,
因为,所以,所以,
当时,,解得,
当时,,解得,
故x的最大值为.
故选:A
8.若函数,则下列说法正确的是()
A.若,则对于任意函数都有2个零点
B.若,则对于任意函数都有4个零点
C.若,则存在使得函数有2个零点
D.若,则存在使得函数有2个零点
【答案】B
【解析】
【分析】先判断出偶函数,求导讨论在上的单调性,确定最小值,再结合选项,讨论最小值和0的大小,进而分析出的零点,再分析的零点即可.
【详解】易得定义域为R,又,则为偶函数;当时,,,
当时,则,则在上单增,,又为偶函数,则在R上,;
对于A,若,则,故在R上有,令,则,易得,则无零点,故A错误;
对于B,若,则,又,故在上有1个零点,又为偶函数,
则在上有另一个零点,则零点的个数等价于以及解的个数,又,易得有2个解,
又,令,则,则单增,即,
则,可得,即,即,则有2个解,
综上可得对任意,以及有4个解,即有4个零点,故B正确;C错误;
若,则,则有唯一零点0,则零点的个数等价于解的个数,
显然只有1个解0,即对任意,只有1个零点,故D错误.
故选:B.
【点睛】本题关键点在于讨论最小值和0的大小,进而分析出的零点;当时,易得有两个零点,,通过构造函数判断和的大小,是求出解的个数的关键.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的
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