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黑龙江省哈尔滨试验中学2025届高三数学二模考试试题文（含解析）
考试时间：120分钟总分：150分
留意事项：
1.答题前，考生先将自已的姓名、准考证号码填写清晰，将条形码精确粘贴在条形码区域内.
2.答题时请按要求用笔.
3.请依据题砂依次在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
4.作图可先运用铅笔画出，确定后必需用黑色字迹的签字笔描黑.
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准运用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60.0分）
1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
解出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】解不等式，即，解得或，则，
又，因此，.
故选：D.
【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了分式不等式的求解，考查计算实力，属于基础题.
2.已知为虚数单位，复数，.若，则的实部为（）
A. B. C. D.1
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的四则运算中的除法法则求，利用复数的模求，即可得出结论.
【详解】，
，
，
的实部为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查代数形式的四则运算和复数的模.属于简洁题.
3.平面对量，如图所示，则在方向上的投影为（）
A. B. C.-1 D.1
【答案】A
【解析】
【分析】
依据所给图象，求得向量，，求得两向量夹角的余弦值，然后代入向量在向量方向上的投影公式，即可求得答案.
【详解】依据所给图象
,
，
可得：，
又
向量在向量向上的投影为
故选：A.
【点睛】本题主要考查了求向量的投影问题，解题关键是驾驭向量投影的求法和向量的数量积公式，考查了分析实力和计算实力，属于基础题.
4.在平面直角坐标系内，直线：，将与两坐标轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得几何体的体积为（）
A. B. C. D.4
【答案】C
【解析】
【分析】
依据题意此几何体体积可以看作：，求出积分即可得所求体积.
【详解】由题意，当时，，直线：，将与两坐标轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得几何体的体积可以看作：，
由牛顿—莱布尼茨公式：
.
故选：C.
【点睛】本题考查用定积分求简洁几何体的体积，求解的关键是找出被积函数以及积分区间，属于基础题．
5.若，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用诱导公式求得的值，利用同角三角函数的基本关系求得的值，然后利用二倍角的正弦和余弦公式可求得所求代数式的值.
【详解】由诱导公式可得，且，，
，
因此，.
故选：A.
【点睛】本题考查利用诱导公式和二倍角公式求值，考查计算实力，属于基础题.
6.我校甲、乙、丙三名语文老师和、、三名数学老师被派往某县城一中和二中支教，其中有一名语文老师和一名数学老师被派到了一中，其它老师都去二中支教，则甲与被派到同一所学校的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分两种状况探讨：①甲与被派往了一中；②甲与被派往了二中.列举出被派往一中的老师所包含的基本状况以及甲与被派往同一所学校时派往一中老师所包含的基本状况，利用古典概型的概率公式可计算出所求事务的概率.
【详解】分两种状况探讨：①甲与被派往了一中，此时，派往一中的老师包含种状况：甲；
②甲与被派往了二中，此时，派往一中的老师包含种状况：乙、乙、丙、丙.
而被派往一中的老师包含种状况：甲、甲、甲、乙、乙、乙、丙、丙、丙.
综上所述，甲与被派到同一所学校的概率为.
故选：B.
【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事务的概率，一般要求列举出基本领件，考查计算实力，属于基础题.
7.《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为：（）
A.15.5尺 B.12.5尺 C.9.5尺 D.6.5尺
【答案】D
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式列出方程组，求出立夏的影子长即可.
【详解】因为从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，
故可设该等差数列为，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种日影子长分别计为，，，，，公差为，由题可得：
，即，解之得：，
所以立夏的日影子长为：（尺）.
故选：D.
【点睛】本题考查等差数
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