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湖南衡阳正源学校2025届高三复习第一次阶段性过关考试数学试题试卷
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知、,,则下列是等式成立的必要不充分条件的是()
A. B.
C. D.
2.在一个数列中,如果,都有(为常数),那么这个数列叫做等积数列,叫做这个数列的公积.已知数列是等积数列,且,,公积为,则()
A. B. C. D.
3.记等差数列的公差为,前项和为.若,,则()
A. B. C. D.
4.若变量,满足,则的最大值为()
A.3 B.2 C. D.10
5.若双曲线的离心率为,则双曲线的焦距为()
A. B. C.6 D.8
6.已知函数(),若函数有三个零点,则的取值范围是()
A. B.
C. D.
7.函数在的图象大致为()
A. B.
C. D.
8.已知,函数在区间内没有最值,给出下列四个结论:
①在上单调递增;
②
③在上没有零点;
④在上只有一个零点.
其中所有正确结论的编号是()
A.②④ B.①③ C.②③ D.①②④
9.数列{an},满足对任意的n∈N+,均有an+an+1+an+2为定值.若a7=2,a9=3,a98=4,则数列{an}的前100项的和S100=()
A.132 B.299 C.68 D.99
10.若x,y满足约束条件且的最大值为,则a的取值范围是()
A. B. C. D.
11.已知,是两条不重合的直线,是一个平面,则下列命题中正确的是()
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
12.已知函数,若函数在上有3个零点,则实数的取值范围为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知,,且,则的最小值是______.
14.在中,角的平分线交于,,,则面积的最大值为__________.
15.若,则的最小值为________.
16.某种赌博每局的规则是:赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张,将卡片上的数字作为其赌金;随后放回该卡片,再随机摸取两张,将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金.若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金,则D(ξ1)=_____,E(ξ1)﹣E(ξ2)=_____.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数.
(1)设,若存在两个极值点,,且,求证:;
(2)设,在不单调,且恒成立,求的取值范围.(为自然对数的底数).
18.(12分)如图,三棱柱中,与均为等腰直角三角形,,侧面是菱形.
(1)证明:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
19.(12分)直线与抛物线相交于,两点,且,若,到轴距离的乘积为.
(1)求的方程;
(2)设点为抛物线的焦点,当面积最小时,求直线的方程.
20.(12分)如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.
求证:(1)AM∥平面BDE;
(2)AM⊥平面BDF.
21.(12分)如图,三棱柱的所有棱长均相等,在底面上的投影在棱上,且∥平面
(Ⅰ)证明:平面平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的余弦值.
22.(10分)已知函数(,),且对任意,都有.
(Ⅰ)用含的表达式表示;
(Ⅱ)若存在两个极值点,,且,求出的取值范围,并证明;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断零点的个数,并说明理由.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.D
【解析】
构造函数,,利用导数分析出这两个函数在区间上均为减函数,由得出,分、、三种情况讨论,利用放缩法结合函数的单调性推导出或,再利用余弦函数的单调性可得出结论.
【详解】
构造函数,,
则,,
所以,函数、在区间上均为减函数,
当时,则,;当时,,.
由得.
①若,则,即,不合乎题意;
②若,则,则,
此时,,
由于函数在区间上单调递增,函数在区间上单调递增,则,;
③若,则,则,
此时,
由于函数在区间上单调递减,函数在区间上单调递增,则,.
综上所述
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