2024-2025学年七年级数学下册同步讲义（北师大版）第三章 变量之间的关系复习与巩固（原卷版）.pdfVIP

第三章变量之间的关系复习与巩固

1.从表格的数据中分清什么是变量，自变量、因变量以及因变量随自变量的变化情况（重点）；

2.对表格所表达的两个变量关系的理解（难点）；

3.列关系式表示两个变量的关系，并会利用关系式进行相关计算并感受对应思想（重点）；

4.从具体问题中抽象出数学问题并将它用关系式表示出来（难点）；

5.把实际问题转化为数学图像，再根据图像来研究实际问题，使学生获得对图象反映变量之间关系的体验（重

点）；

6.从图像中获得一些信息与在现实情景下用语言进行描述之间的等价转化（难点）。

知识点一.变量、自变量、因变量、常量

变量：在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。

自变量、因变量：如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。

自变量是最初变动的量，它在研究对象反应形式、特征、目的上是独立的；因变量是由于自变量变动而引

起变动的量，它“依赖于”自变量的改变。

常量：一个变化过程中数值始终保持不变的量叫做常量.

知识点二.列表法

列表法

采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时要选取能代表自变量的一些

数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出因变量的对应值。列表法最大的特点是直观，可以直接从表

中找出自变量与因变量的对应值，但缺点是具有局限性，只能表示因变量的一部分。

表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。

绘制表格表示两个变量之间关系

（1）首先要明确表格中所列的是哪两个量；

（2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；

（3）结合实际情境理解它们之间的关系。

知识点三.解析式法

解析法

关系式是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出

相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。

用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量的代数式表示因变量，这样的数学

式子叫做关系式。

关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。

求两个变量之间关系式的途径：

（1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式。

（2）根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；

（3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式；

（4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。

关系式的应用：

（1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值；

（2）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；

（3）根据关系式求值的实质就是解一元一次方程或求代数式的值。

知识点四.图象法

图像法

对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐

标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象。它是我们所表示两个变量之间关系

的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象

所确定的因变量的值往往是不准确的。

表示的步骤是：

①列表：列表给出自变量与因变量的一些特殊的对应值。一般给出的数越多，画出的图象越精确。

②描点：在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点来表示自变量，用竖直方向的数

轴上的点来表示因变量。

③连线：按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线把所描的各点连结起来。

图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象。

图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。

用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点表示自变量，用竖直方向的数轴上的点表示

因变量。

图象上的点：

（1）对于某个具体图象上的点，过该点作横轴的垂线，垂足的数据即为该点自变量的取值；

（2）过该点作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。

图象理解：

（1）理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量；

（2）看该点所对应的横轴、纵轴的位置；

（3）从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势。

理解图像：

（1）认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；

（2）从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义，特别是图像的起点、拐点、交点在同一平面内.

知识点01变量、自变量、因变量、常量

典例：1.以固定的速度v(m/s)向上抛出一个小球，小球的高度h(m)与小球运