2022~2023学年北京市八年级上期末数学试卷分类汇编——几何综合（含答案解析）.docx

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2022~2023学年北京市八年级上期末数学试卷分类汇编

——几何综合

参考答案与试题解析

一．全等三角形的判定与性质（共3小题）

1．（2022秋?密云区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，∠BAC与∠ABC的角平分线AD、BE分别交BC、AC边于点D和点E．

（1）求证：△BEC是等腰三角形；

（2）用等式表示线段AB、AC、BD之间的数量关系，并证明．

【分析】（1）利用三角形内角和，角平分线的定义得出∠EBC＝∠C，进而得出EB＝EC，即可得出结论；

（2）延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，利用等边对等角和三角形的外角得出∠F＝∠C，再证明△AFD?△ACD，根据全等三角形的性质得出AF＝AC，再根据线段的和差即可得出AB+BD＝AC．

【解答】（1）证明：在△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，

∴∠ABC＝80°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠EBC＝40°，

∴∠EBC＝∠C，

∴EB＝EC，

∴△BEC是等腰三角形．

（2）解：AB+BD＝AC，

证明：延长AB至F，使BF＝BD，连接DF，

∴∠F＝∠BDF，

∵∠ABC＝∠F+∠BDF＝80°，

∴2∠F＝80°，

∴∠F＝40°，

∵∠C＝40°，

∴∠F＝∠C，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵AD＝AD，

∴△AFD?△ACD（ASA），

∴AF＝AC，

∴AB+BF＝AC，

即：AB+BD＝AC．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．

2．（2022秋?大兴区期末）已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点M是AB的中点，作∠DME＝90°，使得射线MD与射线ME分别交射线AC，CB于点D，E．

（1）如图1，当点D在线段AC上时，线段MD与线段ME的数量关系是MD＝ME；

（2）如图2，当点D在线段AC的延长线上时，用等式表示线段CD，CE和BC之间的数量关系并加以证明．

【分析】（1）连接CM，证明△MCD≌△MBE（ASA），由全等三角形的性质可得出MD＝ME；

（2）连接CM，同（1）可证△MCD≌△MBE（ASA），由全等三角形的性质可得出CD＝BE，则可得出结论．

【解答】解：（1）连接CM，

∵△ABC是等腰直角三角形，M是AB的中点，

∴CM＝MB，CM⊥AB，∠ACM＝∠ACB＝45°．

∴∠ACM＝∠B＝45°，

又∵∠DMC+∠CME＝∠BME+∠CME＝90°，

∴∠DMC＝∠BME，

∴△MCD≌△MBE（ASA），

∴MD＝ME；

故答案为：MD＝ME；

（2）CE＝CB+CD．

证明：连接CM，

同（1）可知CM＝BM，∠ACM＝∠CBA＝45°，

∴∠DCM＝∠MBE＝135°，

∵∠DMC+∠DMB＝∠BME+∠DMB＝90°，

∴∠CMD＝∠BME，

∴△MCD≌△MBE（ASA），

∴CD＝BE，

∴CE＝CB+BE＝CB+CD．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键．

3．（2022秋?通州区期末）如图△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC垂足为点C，且AE＝BD，AE交线段BC于点F．

（1）在图1中画出符合题意的图形，并证明CE＝AD；

（2）当∠CFE＝∠ADB时，求证：BD平分∠ABC．

【分析】（1）根据HL证明Rt△ACE≌Rt△BAD，可得结论；

（2）由全等三角形的性质得∠E＝∠ADB，从而有∠CFE＝∠E，再说明AE⊥BD，即可证明结论．

【解答】（1）解：如图，

在Rt△ACE和Rt△BAD中，

，

∴Rt△ACE≌Rt△BAD（HL），

∴CE＝AD；

（2）证明：∵Rt△ACE≌Rt△BAD，

∴∠E＝∠ADB，

∵∠CFE＝∠ADB，

∴∠CFE＝∠E，

∵∠ACE+∠DAB＝180°，

∴CE∥AB，

∴∠E＝∠FAB，

∵∠CFE＝∠AFB，

∴∠BAF＝∠AFB，

∵∠ADB＝∠E＝∠EAB，

∴AE⊥BD，

∴∠EAB+∠ABD＝90°，∠AFB+∠FBD＝90°，

∴∠ABD＝∠FBD，

∴BD平分∠ABC．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，证明AE⊥BD是解题的关键．

二．等腰三角形的性质（共1小题）

4．（2022秋?海淀区期末）已知在△ABC中，AB＝AC，且∠BAC＝α．作△ACD，使得AC＝CD．

（1）如图1，若∠ACD与∠BAC互余，则∠DCB＝α（用含α的代数式表示）；

（2）如图2，若∠ACD与∠BAC互补，过点C作CH⊥AD于点H，求