材料力学数值方法：有限差分法(FDM)：有限差分法的收敛性分析.pdf

材料力学数值方法：有限差分法(FDM)：有限差分法的收敛

性分析

1材料力学数值方法：有限差分法(FDM)：绪论

1.1有限差分法的基本概念

有限差分法（FiniteDifferenceMethod,FDM）是一种数值分析方法，用于求

解微分方程的近似解。在材料力学中，许多问题如应力分析、热传导、流体动

力学等，都可以归结为微分方程的求解。FDM通过将连续的微分方程离散化，

即将问题域划分为有限数量的网格点，在这些点上用差分近似代替微分，从而

将微分方程转化为代数方程组，便于计算机求解。

1.1.1离散化过程

考虑一维的微分方程：

2

=

2

+1…

在区间上，我们将其离散化为个网格点，记为,,,，其

01

=ℎ=−/

中，是网格间距。在每个网格点上，二阶导数可以被

中心差分近似为：

2

−2+

11

2|≈ℎ2

这样，原微分方程在每个网格点上可以被近似为：

−2+

11

2=

ℎ

对于=1,2,…,−1，我们得到−1个代数方程，加上边界条件，可以

构成一个+1个方程的系统，可以求解,,…,。

01

1.1.2代码示例

下面是一个使用Python实现的简单一维FDM示例，求解″=1，在

0,1区间上，边界条件为0=0和1=0。

importnumpyasnp

fromscipy.linalgimportsolve

defsolve_fdm(N):

h=1.0/N

A=np.zeros((N-1,N-1))

b=np.zeros(N-1)

1

#构建矩阵A和向量b

foriinrange(N-1):

A[i,i]=-2

ifi0:

A[i,i-1]=1

ifiN-2:

A[i,i+1]=1

b[i]=h**2

#解线性方程组

u=solve(A,b)

#添加边界条件

u=np.insert(u,0,0)

u=np.append(u,0)

returnu,h

#求解N=10的情况

u,h=solve_fdm(10)

print(解向量u:,u)

print(网格间距h:,h)

1.2材料力学中的数值方法简介

材料力学研究材料在各种载荷作用下的变形和破坏规律，其数学模型往往

涉及复杂的微分方程。数值方法，如有限差分法、有限元法、边界元法等，为

解