1.2　空间向量基本定理 练习册答案.docxVIP

1.2空间向量基本定理

1.C[解析]对于A,任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底,当三个不共线的向量共面时,不能构成空间的一个基底,故A错误;对于B,任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底,空间的基底不只有一个,故B错误;对于C,两两垂直的三个非零向量不共面,可构成空间的一个基底,故C正确;对于D,直线的方向向量有无数个,它们是共线向量,故D错误.故选C.

2.D[解析]在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,DD1=AA1,所以BD1=BA+AD+DD1=-AB+

3.C[解析]对于A,因为p=a+b,q=a-b,所以p+q=2a,则a,p,q共面,不能构成空间的一个基底,故A不正确;对于B,因为p=a+b,q=a-b,所以p-q=2b,则b,p,q共面,不能构成空间的一个基底,故B不正确;对于C,假设c,p,q共面,因为{a,b,c}是空间的一个基底,所以a,b不共线,又p=a+b,q=a-b,所以p,q不共线,则可设c=xp+yq,所以c=xp+yq=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,因为{a,b,c}是空间的一个基底,所以x,y的值不存在,即向量c,p,q不共面,能构成空间的一个基底,故C正确;对于D,由C中分析可知,向量c与p,q可构成空间的一个基底,故D不正确.故选C.

4.A[解析]由题意得d=xa+yb+zc=x(e1+e2+e3)+y(e1+e2-e3)+z(e1-e2+e3)=(x+y+z)e1+(x+y-z)e2+(x-y+z)e3,∵d=e1+2e2+3e3,∴x+y+z=1

5.C[解析]设AB=a,AC=b,AA1=c,三棱柱ABC-A1B1C1各条棱的长均为1,则|a|=|b|=|c|=1,a·b=12,b·c=12,a·c=12,所以AB1·BC1=(a+c)·(b-a+c)=12-1+12+12-12+1=1.又因为|AB1|=|a+c|=3,|BC1|=|b-a+c|=2,所以cosAB1

6.B[解析]设BEBB1=λ,因为EF=EB+BA+AD+DF=-λBB1-AB+AD+12DD1=-λAA1-AB+AD+12AA1=-AB+AD+12-λAA1,

7.D[解析]由题知λ≠0,则由BD=λDQ得DQ=1λBD,所以BQ=BD+DQ=BD+1λBD=λ+1λBD.设AA1=a,AB=b,AD=c,这三个向量不共面且两两垂直,故a,b,c可构成空间的一个基底.由题意得PQ=PB1+B1B+BQ=14D1B1+B1B+λ+1λBD=B1B+λ+1λ-14BD=B1B+λ+1λ-14AD-λ+1λ-14

8.ABD[解析]对于A,若a∥b,则a,b与任一向量均共面,故a,b与任一向量都不能构成空间的一个基底,故A正确;对于B,若BA,BM,BN不能构成空间的一个基底,则BA,BM,BN共面,即A,B,M,N四点共面,故B正确;对于C,若OP+OA+OB+OC=0,则OP=-OA-OB-OC,∵(-1)+(-1)+(-1)=-3≠1,∴P,A,B,C四点不共面,故C错误;对于D,∵a,b,c可构成空间的一个基底,∴a,b,c不共面,若m=a+c,则a,b,m不共面,故a,b,m也可构成空间的一个基底,D正确.故选ABD.

9.BC[解析]不妨设AB=a,AC=b,AD=c,则|a|=|b|=1,|c|=2,且a·b=12,b·c=a·c=1.连接AM,则MG=AG-AM=12AD-12(AB+AC)=12(c-a-b),所以|MG|=12(c-a-b)2=12c2+a2+b2-2a·c-2b·c+2a·b=32,故A错误,B正确;因为AC·BD=b·(c-a)=b·c-a·b=12,且|BD|=(c-a)

10.{c,a+b,a-b}(答案不唯一)[解析]不共面的三个向量均可构成空间的一个基底,如{c,a+b,a-b}.

11.23[解析]连接PN,则由题意得PD=PM+MD=12PA+13MN=12PA+13(PN-PM)=13PA+16PB+1

12.19[解析]设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,DA=a,DC=b,DD1=c,则a,b,c不共面且两两垂直,故{a,b,c}为空间的一个基底,|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=c·a=0.因为M,N分别为棱A1A和B1B的中点,所以CM=CD+DA+AM=a-b+12c,D1N=D1A1+A1B1+B1N=a+b-12c,则|CM|=a-b+12c2=32,|D1N|=a+b-12c

13.解:(1)由M是BC的中点,得BM=12BC,则AM=AB+BM=AB+12BC=AB+12(BC+CC)=b+12(BC+AA)=b+12(AC-A