1.1.2　空间向量的数量积运算 练习册正文.docxVIP

1.1.2空间向量的数量积运算

一、选择题

1.对于空间任意两个非零向量a,b,“a·b0”是“a,b为钝角”的 ()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.在三棱锥A-BCD中,若AB⊥BD,CD⊥BD,BD=1,则AC·BD= ()

A.12 B.

C.3 D.0

3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,设AB=a,AD=b,AA1=c,则a·(b+c)= (

A.2 B.0 C.-1 D.-2

4.如图,在正方体ABCD-ABCD中,AB,BD

A.30° B.60°

C.90° D.120°

5.在三棱锥P-ABC中,∠PAB=∠ABC=π3,PA,BC=2π3,PA=2,AB=1,BC=3,则PC= (

A.7 B.2

C.3 D.1

6.[2024·安徽桐城中学高二质检]一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1,若以顶点A为端点的三条棱长都相等,且它们彼此的夹角都是60°,则BD1与AC所成角的余弦值为()

A.32 B.12 C.16

7.[2024·湛江一中月考]柏拉图多面体是柏拉图及其追随者对正多面体进行系统研究后而得名的几何体.如图是棱长均为1的柏拉图多面体EABCDF,P,Q,M,N分别为DE,AB,AD,BF的中点,则PQ·MN= ()

A.12 B.14 C.-14 D.

8.(多选题)[2024·湖南娄底高二期中]已知正方体ABCD-ABCD的棱长为1,设AB=a,AD=b,AA=c,则下列各式的值为1的有(

A.a·(b+c)

B.a·(a+b+c)

C.(a+b)·(b+c)

D.(a+b)·c

9.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-ABCD中,已知AB=5,AD=4,AA=2,∠BAD=∠BAA=∠DAA=60°,则下列说法正确的是 ()

A.AB·AD=10

B.AB·AC=

C.|BD|=

D.△ACC为钝角三角形

二、填空题

10.[2024·山东烟台高二期中]已知空间向量a,b,c满足|a|=2,|b|=3,|c|=7且a+b+c=0,则a与b的夹角大小为.?

11.在四面体O-ABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G为△ABC的重心,则OG·(OA+OB+OC)=.?

12.[2024·杭州浙大附中高二期中]如图,两条异面直线a,b所成的角为60°,在直线a,b上分别取点A,E和点A,F,使AA⊥a且AA⊥b.若AE=2,AF=3,EF=23,则线段AA的长为.?

三、解答题

13.[2024·浙江浙南名校联盟高二联考]如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AA1=4,且∠A1AD=∠A1AB=60°,M为BD的中点,P为BB1的中点,设AB=a,AD=b,AA

(1)用向量a,b,c表示向量PM;

(2)求线段PM的长度.

14.如图,正四面体V-ABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.

(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;

(2)求DM,AO的大小.

15.(多选题)[2024·重庆万州区高二质检]在三维空间中,a×b叫做向量a与b的外积,它是一个向量,且满足下列两个条件:①a⊥(a×b),b⊥(a×b),且a,b,a×b三个向量构成右手系(如图所示);②|a×b|=|a||b|sina,b.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的表面积为S,则下列结论正确的有 ()

A.|AB1×AC|=|AD

B.AB×AD=AD×AB

C.S=6|BC×AC|

D.A1C1×A

16.[2024·江苏苏州星海实验学校高二月考]如图,在矩形ABCD和矩形ABEF中,AB=4,AD=AF=3,∠DAF=π3,DM=λDB,AN=λAE,0λ1,记AB=a,AD=b,AF

(1)当λ=12时,求MN与AE夹角的余弦值

(2)是否存在λ使得MN⊥平面ABCD?若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由.