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第八章平面解析几何

8.1直线的倾斜角、斜率与方程

课程标准有的放矢

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.

3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）.

必备知识温故知新

【教材梳理】

1.直线的倾斜角

（1）定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.

（2）规定：当直线l与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°

（3）范围：直线倾斜角的取值范围是[0°

2.直线的斜率

（1）定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=tan

（2）过两点直线的斜率公式：过两点P1x1,y1

（3）直线的方向向量坐标：若P1x1,y1，P2x2,y2，则直线P1P2的方向向量P1P

3.直线方程的五种形式

名称

方程的形式

常数的几何意义

适用范围

点斜式

y?

x0,y

不垂直于x轴（k存在）

斜截式

y=

k为斜率，b是直线的纵截距，是点斜式的特例

不垂直于x轴（k存在）

两点式

y?

x1,y

不垂直于x轴和y轴x1

截距式

xa

a为横截距，b为纵截距，是两点式的特例

不垂直于x轴和y轴，且不过原点ab

一般式

Ax+

A2

A,B,C为系数

任何位置的直线

【常用结论】

4.斜率与倾斜角的对应关系

图示

倾斜角（范围）

α=

0°

α=

90°

斜率（范围）

k=

k

不存在

k

5.过点P1x1,y

（1）若x1=x2，且y1

（2）若x1≠x2，且y1

（3）若x1=x2=0，且

（4）若x1≠x2，且y1

自主评价牛刀小试

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.

（1）倾斜角越小，斜率越小. （×）

（2）不是所有的直线都有斜率. （√）

（3）过点Px0,y0的直线都可用方程

（4）能用斜截式方程表示的直线都能用点斜式方程表示. （√）

（5）直线2kx+y+1?2k

2.直线3x+y

A.30° B.60° C.120

解：由题意，得k=tanθ=?3,θ∈[0

3.倾斜角为135°，在y轴上的截距为?1的直线方程是（

A.x?y+1=0

解：直线的斜率为k=tan135°=?1，所以直线方程为y=?

4.（教材题改编）如果AC0，且BC0，那么直线

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

解：由已知，得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距?CA0，在y轴上的截距?C

核心考点精准突破

考点一直线的倾斜角和斜率

例1

（1）【多选题】如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1

A.k1k3k

解：由题图，知k2k30，k10，则k1k3k2

（2）直线l过点P1,0，且与以A2,1，B0,

解：

如图，因为kAP

kBP

直线l与线段AB有交点,所以k∈

故填?∞,?3

【点拨】①任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在，直线倾斜角的范围是[0,π)，斜率的取值范围是R，同时要知道正切函数在[0,π)上不单调.②求直线的倾斜角主要根据定义来求，求直线的斜率常用的有三种方法：定义法

变式1

（1）（教材题改编）若过点M?2,m，Nm

A.1 B.4 C.1或3 D.1或4

解：由题意,得m?4?2?m=1

（2）已知直线l的一个方向向量为p=(sinπ3,cosπ3

A.π6 B.π3 C.2

解：由题意,可得直线l的斜率k=cosπ3sinπ3=33=tan

（3）点Px,y在以点A2,1，点B(0，

解：yx+1表示过点Q?1,

如图，因为kAQ=1?02??1=13,kBQ

考点二求直线方程

例2

（1）求适合下列条件的直线方程.

①过点P4,?2

解：因为倾斜角α=150°，所以斜率k=tan150

②过两点A1,3

[答案]因为斜率k=5?32

③在x轴、y轴上的截距分别为?3，?

[答案]由题意，得直线的截距式方程为x?3+

④直线l经过点P0,1

[答案]由题意，得直线l的斜率为12，所以直线l的方程为y?1

（2）设直线l的方程为m2?2m?3x?2m2

解：由题意,知m2?2m?3≠0

令y=0，则

所以2m?6m2?2m?3=?

所以m=?53

【点拨】①选用直线方程时，注意其适用条件.②注意截距相等包含截距为0的情形，截距不是距离.③若已知直线的一个方向向量的坐标为m,n,mn≠0,则直线的斜率为nm；若已知直线的一