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材料力学数值方法：有限元法(FEM)在电磁学中的应用

1绪论

1.1有限元法在电磁学中的重要性

有限元法（FiniteElementMethod,FEM）作为一种强大的数值分析工具，

在电磁学领域中扮演着至关重要的角色。电磁学研究电磁场的性质和行为，而

FEM能够将复杂的电磁问题转化为一系列较小的、更易于解决的子问题，通过

在这些子问题上应用数学模型，最终得到整个问题的近似解。这种能力使得

FEM在设计和分析电磁设备，如电机、变压器、天线、微波器件等时，成为不

可或缺的工具。

1.1.1电磁学与材料力学的交叉点

电磁学与材料力学的交叉点主要体现在电磁材料的性质和行为上。电磁材

料，如铁磁材料、超导材料等，其电磁性能往往与材料的力学性质紧密相关。

例如，铁磁材料的磁化过程会受到材料内部应力的影响，而超导材料的临界电

流则可能受到材料几何形状和外部机械应力的制约。因此，在分析和设计电磁

设备时，需要同时考虑电磁和力学因素，FEM正是处理这类多物理场耦合问题

的理想方法。

1.2FEM的基本原理简介

FEM的基本原理是将连续的物理域离散化为有限数量的单元，每个单元用

一组节点来表示。在电磁学中，这些单元可以是二维的平面或三维的体积，节

点则代表了电磁场的未知量。通过在每个单元内假设场量的分布形式（如线性、

二次等），可以将电磁场的微分方程转化为代数方程组，进而通过数值方法求解。

1.2.1示例：二维电磁场的FEM分析

假设我们有一个二维的电磁场问题，需要分析一个矩形区域内的电场分布。

该区域的尺寸为10cmx10cm，边界条件为左侧和下侧电势为0V，右侧电势为

10V，上侧电势为5V。我们使用FEM来求解该问题。

数据样例

区域尺寸：10cmx10cm

边界条件：

o左侧：0V

o下侧：0V

1

o右侧：10V

o上侧：5V

代码示例

importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

fromscipy.sparseimportlil_matrix

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#定义区域尺寸和网格步长

Lx=10#x方向长度

Ly=10#y方向长度

nx=100#x方向网格数

ny=100#y方向网格数

hx=Lx/(nx-1)#x方向网格步长

hy=Ly/(ny-1)#y方向网格步长

#初始化电势矩阵

phi=np.zeros((ny,nx))

#设置边界条件

phi[:,0]=0#左侧边界

phi[:,-1]=10#右侧边界

phi[0,:]=0#下侧边界

phi[-1,:]=5#上侧边界

#构建系数矩阵和常数向量

A=lil_matrix((nx*ny,nx*ny))

b=np.zeros(nx*ny)

#定义节点编号

defnode(i,j):

returni+j*nx

#构建内部节点的方程

forjinrange(1,ny-1):

foriinrange(1,nx-1):

A[node(i,j),node(i,j)]=4

A[node(i,j),node(i-1,j)]=-1

A[node(i,j),node(i+1,j)]=-1

A[node(i,j),node(i,j-1)]=-1

A[node(i,j),node(i,j+1)]=-1

b[node(i,j)]=0

2

#求解电势

phi=spsolve(A.tocsr(),b.reshape(-1