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中考几何辅助线(“三线合一”)
【案例赏析】
如图所示:一副三角板如图放置,等腰直角三角板ABC固定不动,另一块三角板的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D处,且可以绕点D旋转,在旋转过程中,两直角边的交点G、H始终在边AB、BC上.
在旋转过程中线段BG和CH大小有何关系?证明你的结论.
若AB=BC=4cm,在旋转过程中四边形GBHD的面积是否改变?若不变,求出它的值;若改变,求出它的取值范围.
若交点G、H分别在边AB、BC的延长线上,则(1)中的结论仍然成立吗?请画出相应的图形,直接写出结论.
如图,点P是等腰Rt△ABC底边BC上一点,过点P作BA、AC的垂线,垂足为E、F,设点D为BC中点,求证:△DEF是等腰直角三角形.
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【专项突破】
如图,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC
边上的点,且DE⊥DF.
请说明:DE=DF;
请说明:BE2+CF2=EF2;
若BE=6,CF=8,求△DEF的面积(直接写结果).
如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC边上的中点,DE、DF分别垂直AB、AC于点
E和F.求证:DE=DF.
如图,点D、E在△ABC的BC边上,AB=AC,AD=AE.求证:BD=CE.
如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D是AB的中点,DE⊥DF,点E,F分别在
AC,BC上,求证:DE=DF.
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如图,△ABC与△DEF均为等边三角形,O为BC、EF的中点,则AD:BE的值为()
A.:1 B.:1 C.5:3 D.不确定
中考几何辅助线002三线合一
参考答案与试题解析
一.解答题(共6小题)
如图所示:一副三角板如图放置,等腰直角三角板ABC固定不动,另一块三角板的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D处,且可以绕点D旋转,在旋转过程中,两直角边的交点G、H始终在边AB、BC上.
在旋转过程中线段BG和CH大小有何关系?证明你的结论.
若AB=BC=4cm,在旋转过程中四边形GBHD的面积是否改变?若不变,求出它的值;若改变,求出它的取值范围.
若交点G、H分别在边AB、BC的延长线上,则(1)中的结论仍然成立吗?请画出相应的图形,直接写出结论.
【解答】解:(1)BG和CH为相等关系,如图1,连接BD,
∵等腰直角三角形ABC,D为AC的中点,
∴DB=DC=DA,∠A=∠DBH=45°,BD⊥AC,
∵∠EDF=90°,
∴∠ADG+∠GDB=90°,
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∴∠BDG+∠BDH=90°,
∴∠ADG=∠HDB,
∴在△ADG和△BDH中,
,
∴△ADG≌△BDH(ASA),
∴AG=BH,
∵AB=BC,
∴BG=HC,
∵等腰直角三角形ABC,D为AC的中点,
∴DB=DC=DA,∠DBG=∠DCH=45°,BD⊥AC,
∵∠GDH=90°,
∴∠GDB+∠BDH=90°,
∴∠CDH+∠BDH=90°,
∴∠BDG=∠HDC,
∴在△BDG和△CDH中,
,
∴△BDG≌△CDH(ASA),
∴S四边形DGBH=S△BDH+S△GDB=S△ABD,
∵DA=DC=DB,BD⊥AC,
∴S△ABD=S△ABC,
∴S四边形DGBH=S△ABC=4cm2,
∴在旋转过程中四边形GBHD的面积不变,
当三角板DEF旋转至图2所示时,(1)的结论仍然成立,如图2,连接BD,
∵BD⊥AC,AB⊥BH,ED⊥DF,
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∴∠BDG=90°﹣∠CDG,∠CDH=90°﹣∠CDG,
∴∠BDG=∠CDH,
∵等腰直角三角形ABC,
∴∠DBC=∠BCD=45°,
∴∠DBG=∠DCH=135°,
∴在△DBG和△DCH中,
,
∴△DB
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