江西省新余市2023-2024学年高三上学期期末质量检测数学试卷含答案.docx

高三第一次调研考试

数学试题

命题人：分宜中学谢平新钢中学邹进辉审题人：刘勇刚

说明：1．本卷共有四个大题，22个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟．

2．本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知函数的定义域为集合A，集合，则（）

A． B． C． D．

2．已知复数z满足：，则（）

A．1 B． C． D．5

3．在中，“”是“为直角三角形”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．为庆祝我国第39个教师节，某校举办教师联谊会，甲、乙两名数学老师组成“几何队”参加“成语猜猜猜”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，则“几何队”在一轮比赛中至少猜对一个成语的概率为（）

A． B． C． D．

5．如图，（）

A． B． C． D．

6．已知向量，，且，若，则在方向上的投影向量的坐标是（）

A． B． C． D．

7．已知等差数列和的前n项和分别为，，若，则（）

A． B． C． D．

8．已知三棱锥的棱长均为6，其内有n个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，…，球与三棱锥的三个面和球都相切（，且），则球的表面积等于（）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（）

A．频率分布直方图中a的值为0.005

B．估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75

C．估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80

D．估计总体中成绩落在内的学生人数为225

10．已知定义在R上的函数满足，且函数为奇函数，则（）

A．是周期函数 B．为R上的偶函数

C．为R上的单调函数 D．的图像关于点对称

11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（）

A．若，则M为的重心

B．若M为的内心，则

C．若M为的垂心，，则

D．若，，M为的外心，则

12．已知长方体的表面积为10，十二条棱长度之和为16，则该长方体（）

A．一定不是正方体 B．外接球的表面积为

C．长、宽、高的值均属于区间 D．体积的取值范围为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若直线与圆相切，则实数______．

14．已知正实数x，y满足方程，则的最小值为______．

15．杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举办，杭州亚运会竞赛项目设置为40个大项，61个分项，481个小项，并增设电子竞技、霹雳舞两个竞赛项目．现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到乒乓球、电子竞技、霹雳舞三个项目志愿服务，其中每个项目至少一名志愿者，甲必须在霹雳舞项目，则不同的志愿服务方案共有______种．

16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线l与C的左、右两支分别交于点P，Q，若，则C的离心率为______．

四、解答题：（本大题共6小题，17题10分，18～22题各12分，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）

17．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．

（1）求A；

（2）若D为的中点，且，求的面积．

18．如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面且．

（1）证明：平面．

（2）求平面与平面的夹角的大小．

19．在平面直角坐标系中，动点P到点的距离等于点P到直线的距离．

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）记动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线l与曲线C交于A，B两点，，直线的斜率为，直线的斜率为．证明：为定值．

20．魔方，又叫鲁比可方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974年发明的机械益智玩具．魔方拥有竞速、盲拧、单拧等多种玩法，风靡程度经久未衰，每年都会举办大小赛事，是最受欢迎的智力游戏之一．通常意义下的魔方，是指狭义的三阶魔方．三阶魔方形状通常是正方体，由有弹性的硬塑料制成．常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原．广义的魔方，指各类可以通过转动打乱和复原的