中考数学复习(福建专版 ) 拓展专项三　隐形圆及最值问题.pptVIP

第六章圆拓展专项三隐形圆及最值问题教材梳理篇四点共圆问题1从圆的定义构造圆(折叠类问题)2圆中最值问题3四点共圆问题1若平面上A、B、C、D四个点满足∠ABD＝∠ACD＝90°，则A、B、C、D在以AD的中点E为圆心、EA的长为半径的圆上，如图(可证EA＝EB＝EC＝ED)．如图1，AD，BE，CF为△ABC的三条高，H为三条高线的交点，问：例1(1)图中有多少组四点共圆？并指出圆心的位置；(图1)解：图中有6组四点共圆．①C，D，H，E四点共圆，圆心在CH的中点处；②D，B，F，H四点共圆，圆心在BH的中点处；③A，E，H，F四点共圆，圆心在AH的中点处；④C，B，F，E四点共圆，圆心在BC的中点处；⑤B，A，E，D四点共圆，圆心在AB的中点处；⑥C，D，F，A四点共圆，圆心在AC的中点处．(2)求证：∠ADF＝∠ADE.证明：如答图1，由B，D，H，F四点共圆，得∠ADF＝∠1.同理，由A，B，D，E四点共圆，得∠ADE＝∠1.∴∠ADF＝∠ADE.(答图1)【2021福建12分】如图2，在正方形ABCD中，E，F为边AB上的两个三等分点，点A关于DE的对称点为A′，AA′的延长线交BC于点G.例2(1)求证：DE∥A′F；证明：如答图2，设AG与DE的交点为O.∵点A关于DE的对称点为A′，∴AO＝A′O，AA′⊥DE.∵E，F为边AB上的两个三等分点，∴AE＝EF＝BF，∴EO是△AA′F的中位线，∴EO∥A′F，即DE∥A′F.(答图2)(2)求∠GA′B的大小；解：如答图2，连接GF，∵AA′⊥DE，四边形ABCD是正方形，∴∠AOE＝90°＝∠DAE＝∠ABG，AD＝BA，∴∠ADE＋∠DEA＝90°＝∠DEA＋∠EAO，∴∠ADE＝∠EAO，即∠ADE＝∠BAG.在△ADE和△BAG中，(答图2)∴△ADE≌△BAG(ASA)，∴AE＝BG，∴BF＝BG，∴∠GFB＝∠FGB＝45°.易知∠FA′G＝90°，又∵∠FBG＝90°，∴点F，B，G，A′四点共圆，∴∠GA′B＝∠GFB＝45°.(3)求证：A′C＝2A′B.证明：设AE＝EF＝BF＝BG＝a，则AD＝BC＝3a，∴CG＝2a.在Rt△ADE中，DE＝由(2)知△ADE≌△BAG，∴AG＝DE＝a.∵∠EAO＝∠ADE，∴sin∠EAO＝sin∠ADE，∵∠FA′G＝∠FBG＝90°，∴∠A′FB＋∠A′GB＝180°.又∵∠A′GC＋∠A′GB＝180°，∴∠A′FB＝∠A′GC.从圆的定义构造圆(折叠类问题)2·类型1共端点，等线段模型(定点为圆心，相等距离为半径)·类型2定点＋定长模型(先确定定点，定点为圆心，动点到定点的距离为半径)圆的定义：平面内到定点的距离等于定值的所有点构成的集合．构造思路：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧．如图3，若AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的度数是________．例330°类型一共端点，等线段模型(定点为圆心，相等距离为半径)(图3)如图4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值为________．例4类型二定点＋定长模型(先确定定点，定点为圆心，动点到定点的距离为半径)(图4)1.2·类型1求线段长最短·类型2求两线段和最短(根据圆的对称性，将线段转换，再利用两点之间线段最短求解)圆中最值问题3圆中求最值的方法：在圆中，注意圆的半径为定值，要围绕半径构造模型解题．例5如图5，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________．类型一求线段长最短1．线段有一端点在圆上，一端点在弦上(结合半径，利用垂线段最短直接构造直角三角形求解)(图5)【点拨】如答图3，连接OD，设⊙O的半径为r.∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD＝∵OD的长度为定值，∴当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC的值最小，此时D、B两点重合，【答案】(答图3)例6如图6，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M，N分别是AC，BC的中点，则MN的最大值是________．2．两点都在弦上(转化成求相关的端点在圆上的线段，如直径、半径，再求解)(图6)