空间向量及其运算的坐标表示高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptxVIP

1.3空间向量及其运算的坐标表示

学习目标

1.了解空间直角坐标系，理解空间向量的坐标表示.

2.掌握空间向量运算的坐标表示.

3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用.

4.掌握空间向量的模、夹角以及两点间的距离公式，能运用公式解决问题.

复习回顾

平面向量基本定理：如果两向量a，b不共线，那么对于平面中任意向量p，都存在唯一确定的有序数对{x，y}，使p=xa+yb.

此时，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系.

如图，对于平面内任一向量p=xi+yj，此时(x，y)即为p的坐标.

空间向量基本定理:如果三个向量a，b，c不共面，那么对于空间中任意向量p，都存在唯一确定的有序数组{x，y，z}，使p=xa+yb+zc.

新课讲授

②通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，

分别称为Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面.

它们把空间分成8个部分.

画空间直角坐标系Oxyz时，

一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°.

3

6

2

A(6，3，2)

解：(1)D(0，0，2)

C(0，4，0)

A(3，0，2)

B(3，4，2)

点的位置

x轴上

y轴上

z轴上

xOy平面

xOz平面

yOz平面

点的坐标

(x，0，0)

(0，y，0)

(0，0，z)

(x，y，0)

(x，0，z)

(0，y，z)

已知点A(x，y，z)，则：

①点A关于x轴对称的点为A1___________；

②点A关于y轴对称的点为A2___________；

③点A关于z轴对称的点为A3___________.

④点A关于原点对称的点为A4___________.

⑤点A关于Oxy平面对称的点为A5__________；

⑥点A关于Oxz平面对称的点为A6__________；

⑦点A关于Oyz平面对称的点为A7__________.

(x，-y，-z)

(-x，-y，z)

(-x，y，-z)

(-x，-y，-z)

(x，y，-z)

(-x，y，z)

(x，-y，z)

规律：关于谁对称，谁就不变！

其余互为相反数.

例2在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4).

(1)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标；

(2)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标.

解：（1）P1(－2，1，－4).

（2）P2的坐标为(6，－3，－12).

复习回顾：平面向量的坐标运算

向量运算

向量表示

坐标表示

加法

＋

＋＝_______________________

减法

－

－＝_______________________

数乘

λ

λ＝______________，λ∈R

数量积

·

·＝________________

(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)

(a1－b1，a2－b2，a3－b3)

(λa1，λa2，λa3)

a1b1＋a2b2＋a3b3

空间向量运算的坐标表示

例3已知向量a=(3，5，-1)，b=(2，2，3)，则向量2a-3b的坐标为()

A.(0，4，-11) B.(12，16，7)

C.(0，16，-7) D.(12，16，-7)

A

分析：∵a=(3，5，-1)，b=(2，2，3)，

∴2a-3b=(6，10，-2)-(6，6，9)=(0，4，-11).

故选A.

例5如图所示，在正方体ABCD–A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥DA1.

E

F

建系

例5如图所示，在棱长为1的正方体ABCD–A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上，

(1)求AM的长.

(2)求BE1与DF1所成角的余弦值.

例5如图所示，在棱长为1的正方体ABCD–A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上，

(2)求BE1与DF1所成角的余弦值.

课堂总结

1.空间向量运算的坐标表示.

2.空间向量中垂直、平行向量坐标之间的关系.

3.空间中两点间的距离公式和空间两向量夹角余弦值的计算公式.

4.利用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题.

简记：建系→点坐标→向量坐标→代入公式求解

当堂检测

1.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()

D

A

当堂检测

3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则