空间中直线、平面的垂直高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修一.pptxVIP

1.4空间向量的应用

1.4.1.3空间中直线、平面的垂直

1.空间中点、直线和平面的向量表示

(1)点→点+位置向量

(2)线→点+方向向量

(3)平面→点+法向量

2.空间中直线、平面的平行

思考1：类似空间中直线、平面平行的向量表示，如何用向量表示直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系?

直线的方向向量

平面的法向量

说明：

①两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直.

②基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直

即证两直线方向向量的数量积为0.

追问:由直线与直线垂直的关系，可以得到这两条直线的方向向量有什么关系？

显然的，这两条直线的方向向量垂直.

1.直线与直线垂直

总结:证明线线垂直

思考2：由直线与平面的垂直关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间有什么关系呢?

直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；

α

(2)

l

2.直线与平面垂直

思考2：由直线与平面的垂直关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间有什么关系呢?

直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；

α

(2)

A

l

B

C

2.直线与平面垂直

1.基底法：用基向量表示直线所在的向量，证直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零；

2.法向量法：建系，求直线方向向量及平面法向量的坐标，证直线方向向量与平面法向量共线（坐标法思路1）；

总结:证明线面垂直方法

注意：使用坐标法证明时,如果平面的法向量很明显,可以用法向量法,

否则常常选用判定定理法解决.

3.判定定理法：建系，求直线方向向量的坐标，证直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零（坐标法思路2）.

思考3：由平面与平面的垂直的关系，可以得到平面的法向量有什么关系？

平面与平面垂直，就是两平面的法向量平行.

3.平面与平面垂直

例5:证明“平面与平面垂直的判定定理”:若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

α

l

β

证明：

证明：以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

思考3：由平面与平面的垂直的关系，可以得到平面的法向量有什么关系？

平面与平面垂直，就是两平面的法向量平行.

3.平面与平面垂直

A

B

C

1.判定定理法：利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；

2.法向量法：直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直．

利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个方法：

总结:证明面面垂直方法

线线平行

线面平行

面面平行

线线垂直

线面垂直

面面垂直

2.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，E是CD的中点，F是BC的中点，求证:平面EAD1⊥平面EFD1.

∴平面EAD1⊥平面EFD1.

3.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D中，E是AA1的中点.

求证:平面EBD⊥平面C1BD.

4.如图，在四棱锥E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°，求证：平面ADE⊥平面ABE.

证取BE的中点O，连接OC，因为AB⊥平面BCE，

以O为原点建立空间直角坐标系(如图所示).

设平面ADE的法向量为n＝(a，b，c)，

又AB⊥平面BCE，OC⊂平面BCE，所以AB⊥OC.

因为BE⊥OC，AB∩BE＝B，AB，BE⊂平面ABE，所以OC⊥平面ABE.

所以平面ABE的法向量可取为m＝(1,0,0).

所以平面ADE⊥平面ABE.