人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题2.1 等式性质与不等式性质-重难点题型精讲及检测（教师版）.docVIP

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专题2.1等式性质与不等式性质-重难点题型精讲

1．两个实数大小的比较

如果a－b是正数，那么ab；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么ab.反过来也对．这个基本事实可以表示为：ab?a－b0，a＝b?a－b＝0，ab?a－b0.

从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．

2．等式的基本性质

性质1如果a＝b，那么b＝a；

性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；

性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；

性质4如果a＝b，那么ac＝bc；

性质5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).

3．不等式的性质

(1)如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即ab?ba.

(2)如果ab，bc，那么ac.即ab，bc?ac.

(3)如果ab，那么a＋cb＋c.

(4)如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc.

(5)如果ab，cd，那么a＋cb＋d.

(6)如果ab0，cd0，那么acbd.

(7)如果ab0，那么anbn(n∈N，n≥2)．

【题型1不等关系的建立】

【方法点拨】

在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组．

【例1】（2021秋?石鼓区校级月考）铁路乘车行李规定如下：乘动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过Mcm．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为a、b、c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（）

A．a+b+c≤M B．a+b+c＞M C．a+b+c≥M D．a+b+c＜M

【解题思路】根据题意列出不等式即可．

【解答过程】解：∵长、宽、高之和不超过Mcm，长、宽、高分别为a、b、c，∴a+b+c≤M，故选：A．

【变式1-1】（2021秋?龙岩期中）为安全燃放某种烟花，现收集到以下信息：

①此烟花导火索燃烧的速度是每秒0.6厘米；

②人跑开的速度为每秒4米；

③距离此烟花燃放点50米以外（含50米）为安全区．

为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x（厘米）应满足的不等式为（）

A．4×x0.6＜50 B．4×x0.6

【解题思路】直接由题意可列出不等关系式即可．

【解答过程】解：由题意可得4×x0.6≥50

【变式1-2】（2021秋?龙岗区期中）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5cm，人跑开的速度为每秒4m，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100m以外的安全区，导火索的长度x（cm）应满足的不等式为（）

A．4×x0.5≥100 B．4×x0.5≤100 C．4×x

【解题思路】为了安全，则人跑开的距离应大于100米，路程＝速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间，是x0.5s．【解答过程】解：根据题意得4×x0.5＞

【变式1-3】（2021秋?龙江县校级月考）下列结论不正确的是（）

①用不等式表示某厂最低月生活费a元不低于300元为a≥300；

②完成﹣项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工资预算20000元，设木工x人，瓦工y人，则满足的关系式是5x+4y＜200；

③设M＝x2+3，N＝3x，则M与N的大小关系为M＞N；

④若x≠﹣2且y≠1，则M＝x2+y2+4x﹣2y的值与一5的大小关系是M＞﹣5．

A．① B．② C．③ D．④

【解题思路】由题意列出不等式，可判断①②；由作差比较和不等式的性质，可判断③④．

【解答过程】解：对于①，可得a≥300，故①正确；对于②，可得500x+400y≤20000，化为5x+4y≤200，故②错误；对于③，M﹣N＝x2+3﹣3x＝（x?32）2+34＞0，可得M＞N，故③正确；对于④，因为x≠﹣2且y≠1，所以M﹣（﹣5）＝x2+y2+4x﹣2y+5＝（x+2）2+（y﹣1）2＞0，即M＞﹣5

【题型2利用不等式的性质判断正误】

【方法点拨】

(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．

(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．

【例2】（2022春?大名县校级期末）如果a，b，c，d∈R，则正确的是（）

A．若a＞b，则1a＜1b B．若a＞b，则ac2

C．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd

【解题思路】根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．

【解答过程】解：对于A，令a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，