人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题4.3 对数-重难点题型精讲及检测(教师版).docVIP

人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题4.3 对数-重难点题型精讲及检测(教师版).doc

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专题4.3对数-重难点题型精讲

1.对数的定义、性质与对数恒等式

(1)对数的定义:一般地,如果SKIPIF10=N(a0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=SKIPIF10,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.

(2)对数的性质:

①SKIPIF10=0,SKIPIF10=1(a0,且a≠1),负数和0没有对数.

②对数恒等式:=N(N0,a0,且a≠1).

(3)对数与指数的关系:

根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当a0,且a≠1时,=Nx=SKIPIF10.

用图表示为:

2.常用对数与自然对数

3.对数的运算性质

如果a0,且a≠1,M0,N0,n∈R,那么我们有:

4.对数的换底公式及其推论

(1)换底公式:设a0,且a≠1,c0,且c≠1,b0,则SKIPIF10=SKIPIF10.

(2)换底公式的推论:

①SKIPIF10=1(a0,且a≠1,b0,且b≠1);

②SKIPIF10(a0,且a≠1,b0,且b≠1,c0,且c≠1,d0);

③SKIPIF10(a0,且a≠1,b0,m≠0,n∈R).

5.对数的实际应用

在实际生活中,经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时,一是要合理建立数学模型,寻找量与量之间的关系;二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解.

对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛,其应用问题大致可以分为两类:

(1)建立对数式,在此基础上进行一些实际求值,计算时要注意指数式与对数式的互化;

(2)建立指数函数型应用模型,再进行指数求值,此时往往将等式两边同时取对数进行计算.

【题型1对数的运算性质的应用】

【方法点拨】

对数式化简或求值的常用方法和技巧:对于同底数的对数式,化简的常用方法是:

①“收”,即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数,即把多个对数式转化为一个对数

式;

②“拆”,即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差).

【例1】(2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试)求值lg4+2lg5+

A.8 B.9 C.10 D.1

【解题思路】根据对数运算公式和指数运算公式计算即可.

【解答过程】因为lg4+2lg5=lg4+lg5

log28=log223

【变式1-1】(2022·天津·高考真题)化简(2log

A.1 B.2 C.4 D.6

【解题思路】根据对数的性质可求代数式的值.

【解答过程】原式=(2×12

【变式1-2】(2022·全国·高三专题练习)计算:2lg

A.10 B.1 C.2 D.lg

【解题思路】应用对数的运算性质求值即可.

【解答过程】2lg

【变式1-3】(2022·全国·高三专题练习)化简1og

A.?log62 B.?log6

【解题思路】运用对数的运算性质即可求解.

【解答过程】解析:

log6

【题型2换底公式的应用】

【方法点拨】

利用换底公式进行化简求值的原则和技巧

(1)原则:化异底为同底;

(2)技巧:①技巧一:先利用对数运算法则及性质进行部分运算,最后再换成同底;

②技巧二:借助换底公式一次性统一换为常用对数(自然对数),再化简、通分、求值.

【例2】(2022·全国·高一课时练习)已知a=lg2,b=lg3,则

A.2a+2b1?a B.1?a2

【解题思路】利用对数的运算法则及性质进行运算可得答案.

【解答过程】因为a=lg2,b=lg3,所以

【变式2-1】(2022·全国·高三专题练习)已知log23=m,log

A.mn+3mn+1 B.m+n+3

【解题思路】由换底公式和对数运算法则进行化简计算.

【解答过程】由换底公式得:log27=log23?log37=mn,log

【变式2-2】(2022·安徽·安庆市高一期末)已知a=lg2,b=lg3,用a,b表示log36

A.2a+2b1?a B.1?a

【解题思路】利用换底公式即可求解.

【解答过程】由题意知log36

【变式2-3】(2022·全国·高三专题练习)正实数a,b,c均不等于1,若loga(bc)+logbc=5,logba+logcb=3,则logca的值为()

A.45 B.35 C.54

【解题思路】利用对数的运算性质以及换底公式将等式logabc+l

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