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第
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专题4.3对数-重难点题型精讲
1.对数的定义、性质与对数恒等式
(1)对数的定义:一般地,如果SKIPIF10=N(a0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=SKIPIF10,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
(2)对数的性质:
①SKIPIF10=0,SKIPIF10=1(a0,且a≠1),负数和0没有对数.
②对数恒等式:=N(N0,a0,且a≠1).
(3)对数与指数的关系:
根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当a0,且a≠1时,=Nx=SKIPIF10.
用图表示为:
2.常用对数与自然对数
3.对数的运算性质
如果a0,且a≠1,M0,N0,n∈R,那么我们有:
4.对数的换底公式及其推论
(1)换底公式:设a0,且a≠1,c0,且c≠1,b0,则SKIPIF10=SKIPIF10.
(2)换底公式的推论:
①SKIPIF10=1(a0,且a≠1,b0,且b≠1);
②SKIPIF10(a0,且a≠1,b0,且b≠1,c0,且c≠1,d0);
③SKIPIF10(a0,且a≠1,b0,m≠0,n∈R).
5.对数的实际应用
在实际生活中,经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时,一是要合理建立数学模型,寻找量与量之间的关系;二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解.
对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛,其应用问题大致可以分为两类:
(1)建立对数式,在此基础上进行一些实际求值,计算时要注意指数式与对数式的互化;
(2)建立指数函数型应用模型,再进行指数求值,此时往往将等式两边同时取对数进行计算.
【题型1对数的运算性质的应用】
【方法点拨】
对数式化简或求值的常用方法和技巧:对于同底数的对数式,化简的常用方法是:
①“收”,即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数,即把多个对数式转化为一个对数
式;
②“拆”,即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差).
【例1】(2022·黑龙江哈尔滨·高三开学考试)求值lg4+2lg5+
A.8 B.9 C.10 D.1
【解题思路】根据对数运算公式和指数运算公式计算即可.
【解答过程】因为lg4+2lg5=lg4+lg5
log28=log223
【变式1-1】(2022·天津·高考真题)化简(2log
A.1 B.2 C.4 D.6
【解题思路】根据对数的性质可求代数式的值.
【解答过程】原式=(2×12
【变式1-2】(2022·全国·高三专题练习)计算:2lg
A.10 B.1 C.2 D.lg
【解题思路】应用对数的运算性质求值即可.
【解答过程】2lg
【变式1-3】(2022·全国·高三专题练习)化简1og
A.?log62 B.?log6
【解题思路】运用对数的运算性质即可求解.
【解答过程】解析:
log6
【题型2换底公式的应用】
【方法点拨】
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
(1)原则:化异底为同底;
(2)技巧:①技巧一:先利用对数运算法则及性质进行部分运算,最后再换成同底;
②技巧二:借助换底公式一次性统一换为常用对数(自然对数),再化简、通分、求值.
【例2】(2022·全国·高一课时练习)已知a=lg2,b=lg3,则
A.2a+2b1?a B.1?a2
【解题思路】利用对数的运算法则及性质进行运算可得答案.
【解答过程】因为a=lg2,b=lg3,所以
【变式2-1】(2022·全国·高三专题练习)已知log23=m,log
A.mn+3mn+1 B.m+n+3
【解题思路】由换底公式和对数运算法则进行化简计算.
【解答过程】由换底公式得:log27=log23?log37=mn,log
【变式2-2】(2022·安徽·安庆市高一期末)已知a=lg2,b=lg3,用a,b表示log36
A.2a+2b1?a B.1?a
【解题思路】利用换底公式即可求解.
【解答过程】由题意知log36
【变式2-3】(2022·全国·高三专题练习)正实数a,b,c均不等于1,若loga(bc)+logbc=5,logba+logcb=3,则logca的值为()
A.45 B.35 C.54
【解题思路】利用对数的运算性质以及换底公式将等式logabc+l
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