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第
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专题4.5函数的应用(二)-重难点题型精讲
1.函数的零点
(1)函数零点的概念:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零
点就是使函数值为零的自变量的值.
(2)函数的零点与方程的解的关系
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解函数y=f(x)有零点函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
(3)几种常见函数的零点
①二次函数的零点
一元二次方程SKIPIF10+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=SKIPIF10+bx+c(a≠0)的零点.
②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0.
③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点SKIPIF10.
④反比例函数y=SKIPIF10(k≠0)没有零点.
⑤指数函数y=(a0,且a≠1)没有零点.
⑥对数函数y=SKIPIF10(a0,且a≠1)仅有一个零点1.
⑦幂函数y=,当a0时,仅有一个零点0;当a≤0时,没有零点.
2.函数零点存在定理
(1)函数零点存在定理:
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
(2)函数零点存在定理的几何意义:
在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x),且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧,则连续曲线与x轴至少有一个交点.
3.二分法
(1)二分法的定义:
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,
使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
(2)区间的中点:一般地,我们把x=SKIPIF10称为区间(a,b)的中点.
(3)用二分法求方程的近似解:
用二分法求方程的近似解:先找一个包含根的区间,然后多次将包含根的区间一分为二,直至根落在
要求的区间内,即用区间中点SKIPIF10将区间(a,b)一分为二,从而得到两个区间(a,SKIPIF10)和(SKIPIF10,b),其中一个区间一定包含根,如若f(a)0,f(SKIPIF10)0,我们便知区间(a,SKIPIF10)包含根,如图,不断重复上述步骤,根最终落在要求的区间内.
(4)用二分法求函数零点的近似值的步骤
给定精确度SKIPIF10,用二分法求函数y=f(x)零点SKIPIF10的近似值的一般步骤如下:
1.确定零点SKIPIF10的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)0.
2.求区间(a,b)的中点c.
3.计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:
(1)若f(c)=0(此时SKIPIF10=c),则c就是函数的零点;
(2)若f(a)f(c)0(此时SKIPIF10∈(a,c)),则令b=c;
(3)若f(c)f(b)0(此时SKIPIF10∈(c,b)),则令a=c.
4.判断是否达到精确度SKIPIF10:若|a-b|SKIPIF10,则得到零点近似值a(或b);否则重复步骤2~4.
【题型1求函数的零点】
【方法点拨】
(1)代数法:根据零点的定义,解方程f(x)=0,它的实数根就是函数y=f(x)的零点.
(2)几何法或性质法:若方程f(x)=0的解不易求出,可以根据函数y=f(x)的性质及图象求出零点.例如,已知
f(x)是定义在R上的减函数,且f(x)为奇函数,求f(x)的零点;因为f(x)是奇函数,那么由奇函数的性质可
知f(0)=0,因为f(x)是定义在R上的减函数,所以不存在其他的x使f(x)=0,从而y=f(x)的零点是0.
【例1】(2022·全国·高一课时练习)函数fx=log
A.10 B.9 C.(10,0) D.(9,0)
【解题思路】令fx=0,解对数方程,求出
【
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