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弹性力学材料模型：超弹性材料：弹性力学基础理论

1弹性力学概述

1.1弹性力学的基本概念

弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和

应力分布。弹性体是指在外力作用下能够发生变形，当外力去除后能够恢复原

状的物体。弹性力学的基本研究对象包括一维的杆、二维的板和壳，以及三维

的实体。在工程应用中，弹性力学广泛应用于结构设计、材料科学、地震工程

等领域。

1.2应力与应变的定义

1.2.1应力

应力是单位面积上的内力，用来描述材料内部的力分布情况。在弹性力学

中，应力分为正应力和切应力。正应力是垂直于截面的应力，用符号σ表示；

切应力是平行于截面的应力，用符号τ表示。应力的单位是帕斯卡（Pa），1Pa

=1N/m²。

1.2.2应变

应变是材料在外力作用下发生的变形程度，是变形量与原始尺寸的比值。

应变分为线应变和剪应变。线应变描述的是长度方向上的变形，用符号ε表示；

剪应变描述的是角度方向上的变形，用符号γ表示。应变是一个无量纲的量。

1.3胡克定律与弹性模量

1.3.1胡克定律

胡克定律是弹性力学中的基本定律，描述了在弹性范围内，应力与应变之

间的线性关系。对于一维情况，胡克定律可以表示为：

=

其中，σ是正应力，ε是线应变，E是弹性模量，也称为杨氏模量，是材

料的固有属性，反映了材料抵抗弹性变形的能力。

1.3.2弹性模量

弹性模量是材料的力学性质，包括杨氏模量（E）、剪切模量（G）和体积

1

模量（K）。这些模量描述了材料在不同类型的外力作用下抵抗变形的能力。例

如，杨氏模量描述了材料在拉伸或压缩作用下抵抗线性变形的能力。

1.3.3示例：计算杆的变形

假设有一根长为L，截面积为A的杆，两端受到轴向力F的作用，材料的

杨氏模量为E。根据胡克定律，可以计算杆的轴向变形ΔL。

#定义变量

L=1.0#杆的长度，单位：m

A=0.01#杆的截面积，单位：m²

F=1000#作用力，单位：N

E=200e9#杨氏模量，单位：Pa

#计算轴向应力

sigma=F/A

#计算轴向应变

epsilon=sigma/E

#计算轴向变形

delta_L=epsilon*L

#输出结果

print(f轴向应力：{sigma:.2f}Pa)

print(f轴向应变：{epsilon:.6f})

print(f轴向变形：{delta_L:.4f}m)

在这个例子中，我们首先定义了杆的长度、截面积、作用力和杨氏模量。

然后，根据胡克定律计算了轴向应力、轴向应变和轴向变形。最后，输出了计

算结果。通过这个例子，我们可以直观地理解胡克定律在实际工程问题中的应

用。

2超弹性材料特性

2.1超弹性材料的定义

超弹性材料，尤其是形状记忆合金(SMA)，展示出一种独特的力学行为，即

在大应变下仍能恢复其原始形状，这种特性源于材料内部的相变过程。超弹性

材料能够在一定温度范围内，经历马氏体相和奥氏体相之间的可逆转变，这一

转变过程使得材料在受到外力作用时，能够产生较大的弹性变形，而当外力去

除后，材料能够几乎无损地恢复到其初始形状。

2

2.2形状记忆效应

形状记忆效应是超弹性材料的另一显著特征。这种效应允许材料在低温下

被塑性变形，然后在加热到某一特定温度时，能够恢复到其高温下的原始形状。

这一过程是由于材料内部的相变，从低温下的马氏体相转变为高温下的奥氏体

相，伴随着晶格结构的重新排列，从而实现了形状的恢复。

2.2.1示例：形状记忆合金的相变模拟

假设我们有一个形状记忆合金的简化模型，我们可以通过以下Python代码

来模拟其在不同温度下的相变过程：

importnumpyasnp

#定义形状记忆合金的相变温度

AusteniteStart=25#奥氏体开始转变温度

AusteniteFinish=35#奥氏体完成转变温度

MartensiteStart=15#马氏体开始转变温度

MartensiteFinish=25#马氏体完成转变温度

#定义温度范围

temperatures=np.lin