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渔场鱼量最优化模型--第1页

景德镇陶瓷学院

数学模型课程设计

学院：信息工程学院

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捕鱼业的持续收获

摘要运用微分方程稳定性理论，建立渔场鱼量的自然生长服从种

族增长规律Gompertz模型的情况下，分析了鱼量稳定的条件，并且

在稳定的前提下，使用图解法和微分法讨论如何控制捕捞使持续产量

达到最大和经济效率达到最大并且研究捕捞过度问题。最后，对模型

的优缺点进行了讨论。

关键词：Gompertz模型稳定性微分法捕捞过度

正文

问题复述

可持续发展是一项基本国策，对于像渔业、林业这样的再生资源，一

定要适度开发，不能为了一时的高产去“涸泽而渔”，应该在持续稳

产的前提下追求产量或利益最优化。已知某渔场鱼量的自然生长服从

N

rN

种族增长规律Gompertz模型：rxlnx，其中是固有增长率，是

环境容许的最大鱼量。

产量模型

一．模型假设

1.假设鱼群的数量随时间连续地，甚至是可微地变化；

2.假设鱼群生活在一个稳定的环境中，即其增长率与时间无关；

3.种群的增长是种群个体死亡与繁殖共同作用的结果；

4.资源有限的生存环境对种群的繁衍，生长有抑制作用，而且这一作

用与鱼群的数量是成正比的；

5.渔场鱼量的自然增长服从Gompertz模型。

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二．符号说明

符号含义

X(t)时刻t渔场中的鱼量

r固有增长率

N坏境容许的最大鱼量

f(x)单位时间的增长量

E单位时间捕捞率

h(x)单位时间的捕捞量

X平衡点

0

X平衡点

1

h最大持续产量

m

E获得最大产量的捕捞强度

M

X*最大的持续产量此时的稳定平衡点

0

三.模型建立

1.在无捕捞条件下x(t)的增长服从Gompertz规律，即

N

.

x

(t)=f(x)=rxlnx(1)

2.单位时间的捕捞量（即产量）与渔场鱼量x(t)成正比，捕捞强度为

E，可以用比如捕鱼肉眼的大小或出海渔船数量来控制其大小，于是

单位时间的捕捞量为：h(x)=Ex.(2)