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重积分知识点总结例题

1.重积分的定义

在介绍重积分的定义之前，首先需要了解多元函数的概念。多元函数是指自变量有多个的

函数，通常表示为$f(x_1,x_2,...,x_n)$。在平面上，一元函数是自变量只有一个的函数，并

且可以表示为$y=f(x)$。而在空间中，两元函数是自变量有两个的函数，并且可以表示为

$z=f(x,y)$，三元函数是自变量有三个的函数，并且可以表示为$w=f(x,y,z)$。

在多元函数的情况下，我们需要对其在一个区域上进行积分。这就引出了重积分的概念。

重积分可以看作是对一个区域上的函数值在该区域上的加权平均。重积分的定义如下：

设$f(x,y)$是定义在闭区域$D$上的有界函数，$D$的面积记为$A(D)$，取$D$上的任意一

组分割和抽样点，$M_{ij}$是$f(x,y)$在$R_{ij}$上任意

一点的函数值。作Riemann和

如果极限$L$存在，不依赖于分割$P$和点$Q$的取法，即

存在，则称$f(x,y)$在闭区域$D$上可积，这个极限$L$称为

$f(x,y)$在$D$上的重积分，记作

其中，表示对$D$内的面积元素进行积分。如果$f(x,y)$在$D$上可积，则称$f(x,

y)$在$D$上可积，否则称为不可积。

2.重积分的性质

重积分具有一些重要的性质，这些性质有助于我们进行重积分的计算和应用。下面我们将

介绍一些重要的性质。

（1）可加性

设$f(x,y)$在闭区域$D$上可积，$D_1$和$D_2$是$D$的两个互不相交的子区域，其并集为

，则有

这就是重积分的可加性。这个性质的意义在于，我们可以将对一个区域上的积分问题转化

为对其子区域上的积分问题进行计算。

（2）线性性

设$f(x,y)$和$g(x,y)$在闭区域$D$上可积，和$eta$为任意常数，则有

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这就是重积分的线性性。这个性质的意义在于，我们可以将对一个区域上的多个函数的加

权和进行重积分的问题转化为对每个函数进行重积分的问题进行计算。

（3）保号性

设$f(x,y)$在闭区域$D$上可积，且在$D$上恒大于等于0，即，则有

这就是重积分的保号性。这个性质的意义在于，对于在一个区域上恒大于等于0的函数，

其重积分的结果也恒大于等于0。

（4）绝对值不等式

设$f(x,y)$在闭区域$D$上可积，则有

这就是重积分的绝对值不等式。这个性质的意义在于，对于一个可积函数，其重积分的绝

对值不超过其绝对值的重积分。

3.重积分的计算方法

对于重积分的计算，有一些常用的方法，如用累次积分法、极坐标法、使用变量代换法等。

下面我们将通过例题介绍这些方法的具体应用。

例1：利用累次积分法计算，其中$D$是由直线

$x=0,y=0,y=x$所围成的区域。

解：首先，我们可以对$x$进行积分，即

然后，再对$y$进行积分，即

rac{2}{3}$$

综上所述，。

例2：利用极坐标法计算，其中$D$是单位圆域。

解：首先，我们可以将函数$e^{x^2