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多刚体系统动力学理论概述
多刚体系统动力学的研究方法包括Lagrange方法、Newton－
Euler方法、Roberson－Wittenburg方法、Kane方法和变分法等。
基于第一类Lagrange方程建立带乘子的最大数目动力学方程，对推
导任意多刚体系统的运动微分方程提供了一种规范化的方法，其主要
特点有：为减少未知量数目，选择非独立的笛卡儿广义坐标；运动微
分方程中不包含约束反力，利于求解；在方程中引入动能和势能函数，
求导计算量随分析系统的刚体数目增加而大增。此方法由于方便计算
机编译通用程序，目前使用广泛，已被一些多体动力学软件作为建模
理论而采用。
一、笛卡儿广义坐标下的各参量
笛卡儿方法是以系统中每个物体为单元，在物体上建立随体坐标
系。体的位形均相对于一个公共参考系定义，位形坐标统一为固连坐
标系原点的笛卡儿坐标系与坐标系的姿态坐标。
T
规定全局坐标系OXYZ，其基矢量为e＝［e，e，e］，过刚体任
123
意一点O（基点）建立与刚体固连的随体坐标系oxyz，其基矢量为e′
T
＝［e′，e′，e′］。随体坐标系能够确定刚体的运动，采用3
123
个笛卡儿坐标以及3个方位坐标。坐标变换矩阵A表示随体坐标相对
于全局坐标系的关系。
如图1.1所示，假设刚体从OXYZ变换到oxyz，随体坐标系oxyz
相对于全局坐标系OXYZ的姿态可以由三次有限转动（绕体轴3－1－
3顺序）确定，即先绕OZ轴转ψ角度，再绕ON轴转θ角度，最后绕
oz转φ角度。其中，θ为章动角；ψ为进动角；φ为自转角。
图1.1坐标系转换示意图
将ψ、θ和φ这3个描述刚体姿态的坐标称为欧拉角坐标。三次
转动的坐标变换矩阵分别为
从随体坐标系oxyz到全局坐标系OXYZ的坐标变换矩阵为
式中，c＝cosψ，其余类推。
ψ
根据角速度叠加原理，刚体的角速度矢量ω为
将该矢量投影到全局坐标系中，写成矩阵形式，有
其中
求导角速度表达式可得到角加速度的表达式：
如上所述，刚体的位形由随体坐标系的平动以及相对全局坐标系
的转动确定。
刚体上任意一点的P相对于全局坐标系的原点O的矢径为
其中，R为随体坐标系原点o′相对于全局坐标系原点O的矢径；
o
u′为矢量u在随体坐标系中的坐标列阵，它在刚体运动过程中保持
不变。
对式（1.9）求导得到任意点P的速度为
其中，u′为矢量u在全局坐标系中的坐标列阵，为矢量ω在全
局坐标系中的坐标列阵的反对称轴矩阵，若坐标列阵为ω＝［ωω
1
T
ω］，其反对称矩阵表示为
23
进一步对P点的速度求导，得到加速度表达式：
其中，u′为矢量u的坐标列阵的反对称矩阵。
二、约束及约束方程
多体系统存在各种类型的铰约束（运动副），因此，它们之间必
须满足某种给定的限制条件，也就是运动学约束。刚体的运动学约束
可以分为相对平动约束和相对转动约束。相对平动约束可以通过两个
刚体上点的相对距离来描述；相对转动约束可以通过分别固定在两个
刚体上的单位矢量的相对关系来描述。这些矢量关系的数学表达式就
是约束方程。
如图1.2所示，通过i和j对刚体进行铰连接，m和n为其作用
点，oxyz和oxyz为两个物体的随体坐标系，原点分别位于两个
iiiijj
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