材料力学数值方法：有限差分法(FDM)：二维问题的有限差分法.pdf

材料力学数值方法：有限差分法(FDM)：二维问题的有限差

分法

1材料力学数值方法：有限差分法(FDM)：二维问题的有限

差分法

1.1绪论

1.1.1有限差分法的基本概念

有限差分法(FiniteDifferenceMethod,FDM)是一种数值分析方法，用于求解

微分方程。在材料力学中，FDM通过将连续的物理域离散化为有限数量的节点

和单元，将微分方程转换为代数方程组，从而实现对复杂结构的应力、应变和

位移的计算。FDM的基本步骤包括：

1.网格划分：将连续的结构域划分为有限数量的节点和单元。

2.差分逼近：用差商代替微分，将微分方程转换为差分方程。

3.代数方程组建立：根据差分方程，建立关于节点未知数的代数方

程组。

4.求解方程组：使用数值方法求解代数方程组，得到节点的解。

5.后处理：分析和可视化求解结果，如应力、应变分布。

1.1.2有限差分法在材料力学中的应用

在材料力学中，FDM广泛应用于求解弹性力学、塑性力学、热传导、流体

力学等问题。例如，对于弹性力学问题，FDM可以用来求解结构在载荷作用下

的位移、应力和应变。在塑性力学中，FDM可以模拟材料的塑性变形和断裂过

程。在热传导问题中，FDM可以预测材料内部的温度分布。在流体力学中，

FDM可以模拟流体的流动和压力分布。

1.1.3维问题的数学描述

二维材料力学问题通常涉及平面应力或平面应变问题。数学描述基于弹性

力学的基本方程，包括平衡方程、本构方程和几何方程。在直角坐标系下，二

维弹性力学问题的平衡方程可以表示为：

∂∂

++=0

∂∂

∂∂

++=0

∂∂

其中，和是正应力，是剪应力，和是外力的x和y分量。

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本构方程描述了应力和应变之间的关系，对于线性弹性材料，可以表示为：

=

=

=

其中，是弹性模量，是剪切模量，、和分别是正应变和剪应变。

几何方程描述了应变和位移之间的关系：

∂

=