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材料力学数值方法：有限差分法(FDM)在弹性力学中的应用

1材料力学数值方法：有限差分法(FDM)在弹性力学中的应

用

1.1绪论

1.1.1有限差分法的基本概念

有限差分法（FiniteDifferenceMethod,FDM）是一种数值分析方法，用于求

解微分方程。在材料力学中，尤其是弹性力学领域，FDM被广泛应用于求解结

构的应力、应变和位移等问题。其基本思想是将连续的微分方程离散化，即将

连续的区域分割成有限个离散的节点和单元，然后在这些节点上用差分近似代

替微分，从而将微分方程转化为代数方程组，通过求解该方程组得到数值解。

1.1.1.1差分近似

在FDM中，一阶导数和二阶导数的差分近似是最常见的。例如，对于一维

空间中的函数，其一阶导数在点的差分近似可以表示为：

+1−

向前差分：|≈

ℎ

−1

向后差分：|≈

ℎ

+1−−1

中心差分：|≈

2ℎ

ℎ

其中，是节点之间的步长。类似地，二阶导数的中心差分近似为：

2

−

12+1

2|≈ℎ2

1.1.1.2示例代码

下面是一个使用Python实现的简单一维弹性杆的有限差分法求解应力的例

子。假设弹性杆的长度为1米，两端固定，受到均匀分布的横向力作用，弹性

模量为=200截面积为=0.01，横向力为=1000

importnumpyasnp

#参数设置

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

A=0.01#截面积，单位：m^2

F=1000#横向力，单位：N

L=1#弹性杆长度，单位：m

n=100#网格数量

1

h=L/n#步长

#初始化位移向量

u=np.zeros(n+1)

#应力计算

foriinrange(1,n):

u[i+1]=u[i]+(F/(E*A))*h

#输出位移向量

print(u)

1.1.2弹性力学中的基本方程

弹性力学主要研究弹性体在外力作用下的变形和应力分布。其基本方程包

括平衡方程、几何方程和物理方程，统称为弹性力学方程。

1.1.2.1平衡方程

平衡方程描述了弹性体内部的力平衡条件，即在任意体积内，作用力的矢

量和为零。在三维空间中，平衡方程可以表示为：

∂∂∂

+++=0

∂∂∂

∂∂∂

+++=0

∂∂∂

∂∂∂

+++=0

∂∂∂

其中，,,是正应力，,,是剪应力，,是体积力的分量。

1.1.2.2几何方程

几何方程描述了应变与位移之间的关系。在三维空间中，几何方程可以表

示为：