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材料力学数值方法：有限元法(FEM)：有限元法在动力学中

的应用

1绪论

1.1有限元法在动力学中的重要性

在材料力学领域，动力学分析是研究结构在动态载荷作用下响应的关键。

有限元法（FEM）作为一种强大的数值分析工具，被广泛应用于动力学问题的

求解中。它能够将复杂的结构分解为多个简单的单元，通过在每个单元上应用

动力学基本原理，如牛顿第二定律，来求解整个结构的动力学响应。FEM在动

力学中的应用，不仅限于线性动力学，还包括非线性动力学、模态分析、瞬态

分析等，为工程师提供了深入理解结构动态行为的手段。

1.2动力学基本原理回顾

动力学分析基于牛顿运动定律，特别是牛顿第二定律：力等于质量乘以加

速度（F=ma）。在有限元法中，这一原理被应用于每个单元，通过求解单元的

运动方程来获得整个结构的动力学响应。动力学分析还涉及到能量守恒原理，

即在没有外部做功的情况下，系统的总能量保持不变。

1.2.1示例：简谐振动的有限元分析

假设我们有一个简单的弹簧-质量系统，质量为m，弹簧刚度为k，受到周

期性外力的作用。我们可以使用有限元法来分析这个系统的动态响应。

1.2.1.1数据样例

质量=1kg

弹簧刚度=100N/m

外力=10sin2N

1.2.1.2代码示例

importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

fromscipy.integrateimportsolve_ivp

#定义参数

m=1.0#质量

1

k=100.0#弹簧刚度

F0=10.0#外力幅值

omega=2*np.pi#外力角频率

#定义动力学方程

defspring_mass(t,y):

x,v=y#位置和速度

dxdt=v#位置对时间的导数

dvdt=-k/m*x+F0/m*np.sin(omega*t)#速度对时间的导数

return[dxdt,dvdt]

#初始条件

y0=[0,0]#初始位置和速度

#时间范围

t_span=(0,10)

#求解动力学方程

sol=solve_ivp(spring_mass,t_span,y0,t_eval=np.linspace(0,10,1000))

#绘制结果

plt.figure()

plt.plot(sol.t,sol.y[0],label=Position)

plt.plot(sol.t,sol.y[1],label=Velocity)

plt.legend()

plt.xlabel(Time(s))

plt.ylabel(Value)

plt.title(DynamicResponseofaSpring-MassSystem)

plt.grid(True)

plt.show()

1.2.2解释

上述代码示例中，我们使用了Python的scipy.integrate.solve_ivp函数来求

解弹簧-质量系统的动力学方程。系统由一个质量m和一个弹簧k组成，受到周

期性外力的作用。通过定义动力学方程spring_mass，我们计算了系统在给定时

间范围内的位置和速度响应。最后，使用matplotlib库绘制了系统的动态响应，

包括位置和速度随时间的变化。

通过这个简单的例子，我们可以看到有限元法在动力学分析中的应用，即

使在复杂结构中，也是通过类似的原理和方法来求解动力学响应的。

2

2有限元法基础

2.1有限元法概述

有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一种数值分析方法，用于求解

复杂的工程问题，如结构力学、热传导、流体力学等。在材料力学领域，FEM

被广泛应用于动力学问题的分析，通过将连续体离散化为有限数量的单元，每

个单元用一组节点来表示，从而将偏微分方程转化为代数方程组，便于计算机

求解。

2.1.1动力学问题的离散化

动力学问题的离散化是将连续的结构体分解为多个有限的、相互连接的单

元。每个单元的运动状态由其节点的位移来描述。对于一个动力学问题，我们