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材料力学数值方法：有限元法(FEM)：有限元法中的数值积

分

1绪论

1.1有限元法的历史与应用

有限元法（FiniteElementMethod,FEM）起源于20世纪40年代末，最初

由工程师们在解决结构工程问题时提出。1943年，R.Courant在解决弹性问题

时首次使用了类似于有限元法的离散化技术。然而，直到1956年，O.C.

Zienkiewicz和Y.K.Cheung在《工程计算中的有限元法》一文中详细阐述了有限

元法的基本原理，这一方法才开始被广泛接受和应用。

有限元法的应用领域极其广泛，从结构工程、流体力学到热传导、电磁学，

几乎涵盖了所有工程和物理科学领域。它通过将复杂的连续体结构分解为有限

数量的简单单元，即“有限元”，然后在每个单元上应用数学模型，最终通过组

合所有单元的解来获得整个结构的解。这种方法极大地简化了问题的求解过程，

使得工程师和科学家能够处理更为复杂和实际的工程问题。

1.2数值积分在FEM中的重要性

在有限元法中，数值积分扮演着至关重要的角色。这是因为有限元法的核

心在于求解偏微分方程的弱形式，而弱形式通常涉及到对整个结构域上的函数

进行积分。在实际应用中，结构域往往是复杂的几何形状，直接积分往往难以

实现，因此需要采用数值积分方法来近似计算这些积分。

1.2.1高斯积分

高斯积分是一种常用的数值积分方法，它基于高斯点的选择和权重的分配。

在有限元分析中，高斯积分被广泛应用于计算单元刚度矩阵和单元内力向量。

例如，对于一个二维四节点矩形单元，其刚度矩阵的计算涉及到对单元内的函

数进行积分。采用高斯积分，可以将积分转化为在几个特定的高斯点上的函数

值乘以相应的权重的求和。

1.2.1.1示例代码

假设我们有一个简单的二维矩形单元，需要计算其刚度矩阵。下面的

Python代码展示了如何使用高斯积分来计算一个矩形单元的刚度矩阵。

importnumpyasnp

#定义高斯点和权重

1

gauss_points=np.array([[-1/np.sqrt(3),-1/np.sqrt(3)],

[1/np.sqrt(3),-1/np.sqrt(3)],

[-1/np.sqrt(3),1/np.sqrt(3)],

[1/np.sqrt(3),1/np.sqrt(3)]])

weights=np.array([1,1,1,1])

#定义单元的节点坐标

nodes=np.array([[0,0],

[1,0],

[1,1],

[0,1]])

#定义材料属性

E=200e9#弹性模量

nu=0.3#泊松比

t=0.1#厚度

#计算刚度矩阵

defcalculate_stiffness_matrix(E,nu,t,nodes,gauss_points,weights):

#初始化刚度矩阵

K=np.zeros((8,8))

#计算雅可比矩阵和其逆

defjacobian_matrix(nodes,xi,eta):

J=np.array([[nodes[1,0]-nodes[0,0],nodes[2,0]-nodes[1,0],nodes[3,0]-nodes[2,0],node

s[0,0]-nodes[3,0]],

[nodes[1,1]-nodes[0,1],nodes[2,1]-nodes[1,1],nodes[3,1]-nodes[2,1],nodes[0,1]

-nodes[3,1]]])

returnJ,np.linalg.inv(J)

#计算形函数和其导数

defshape_functions(xi,eta):

N=np.array([(1-xi)*(1-eta)/4,(1+xi)*(1-eta)/4,(1+xi)*(1+eta)/4,(1-xi)*(1+eta)/4])

dN=np.array([[-(1-eta)/4,(1-eta)/4,(1+eta)/4,-(1+eta)/