05中考数学几何辅助线：巧作辅助线 妙证几何题（6页）Word.docVIP

巧作辅助线妙证几何题

作辅助线是证明平面几何题的重要手段．本文结合今年部分中考题，说明几种常见的作辅助线的方法．

一、构造平行四边形

例1如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝，BC＝4，连结BD，∠BAD的平分线交BD于点E，且AE∥CD，则AD的长为()

(A) (B) (C) (D)2

分析如图1，延长AE交BC于F，根据角平分线的定义，可得∠BAF＝∠DAF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF＝∠AFB，然后求出∠BAF＝∠AFB．再根据等角对等边求出AB＝BF，然后求出FC，根据两组对边平行的四边形是平行四边形得到四边形AFCD是平行四边形，然后根据平行四边形的对边相等解答．

解延长AE交BC于F

∵AE是∠BAD的平分线，

∴∠BAF＝∠DAF．

∵AE∥CD，∴∠DAF＝∠AFB，

∴∠BAF＝∠AFB，∴AB＝BF．

∵AB＝，BC＝4，∴CF＝4－＝．

∵AD//BC，AE//CD，

∴四边形AFCD是平行四边形，

∴AD＝CF＝，故选B．

点评梯形中构造平行四边形是常用方法．

二、构造相似三角形

例2如图2，在△ABC中，BC＝6，

E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，

BP交CE于点D，∠CBP的平分线交CE于Q，当

CQ＝CE时，EP＋BP＝_______．

分析延长BQ交射线EF于点M．根据三角形的中位线平行于第三边，可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M＝∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM＝∠CBM，从而得到∠M＝∠PBM．根据等角对等边，可得BP＝PM，求出EP＋BP＝EM，再根据CQ＝CE求出EQ＝2CQ．然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．

解如图2，延长BQ交射线EF于点M．

∵E、F分别是AB、AC的中点，

∴EF∥BC，∴∠M＝∠CBM．

∵BQ是∠CBP的平分线，

∴∠PBM＝∠CBM．

∴∠M＝∴PBM，∴BP＝PM，

∴EP＋BP＝EP＋PM＝EM．

∵CQ＝CE，∴EQ＝2CQ．

由EF∥BC，得△MEQ∽△BCQ，

∴＝2．

∴EM＝2BC＝2×6＝12，

即EP＋BP＝12．故答案为12．

点评延长BQ构造出相似三角形，求出EP＋BP＝EM，并得到相似三角形，是解题的关键，也是本题的难点．

三、取中点，构造中位线

例3某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：

操作发现

在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB和AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图3所示．其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是_______．

①AF＝AG＝AB；

②MD＝ME；

③整个图形是轴对称图形；

∠DAB＝∠DMB．

数学思考

在任意△ABC中，分别以AB和AC为斜边，向AABC的外侧作等腰直角三角形，如图4所示．M是BC的中点，连结MD和ME，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程．

类比探索

在任意△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图5所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MED的形状．

解操作发现答案：①②③④；

数学思考答案：

(1)MD＝ME，证明如下：

如图6，分别取AB，AC的中点F，G，连结DF，MF，MG，EG．

∵M是BC的中点，

∴MF//AC，MF＝AC．

又∵EG是等腰Rt△AEC斜边上的中线，

∴EG⊥AC，且FG＝AC，

∴MF＝EG，同理可证DF＝MG．

∵MF∥CG，∴∠MFA＋∠BAC＝180°．

同理可得∠MGA＋∠BAC＝180°，

∴∠MFA＝∠MGA．

又∵EG⊥AC，∴∠EGA＝90°．

同理可得∠DFA＝90°，

∴∠MFA＋∠DFA＝∠MGA＝∠EGA，

即∠DFM＝∠MEG．

又MF＝EG，DF＝MG，

∴△DFM≌△MGE，∴MD＝ME．

(2)MD⊥ME，证明如下：

∵MG∥AB，∴∠MFA＋∠FMG＝180°．

又∵△DFM≌△MGE．

∴∠MEG＝∠MDF，

∴∠MFA＋∠FMD＋∠DME＋∠MD