空间向量的数量积运算高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修一.pptxVIP

1.1.2

空间向量的数量积运算

平面向量及其线性运算

空间向量及其线性运算

推广

平面向量的数量积运算

空间向量的数量积运算

问题1什么是平面向量的夹角？类比给出空间向量夹角的概念

平面向量、空间向量的夹角

两个非零向量a，b，在平面内任取一点O，做＝a，

＝b，则∠AOB叫做向量

a，b的夹角，记作〈a，b〉，规定0≤〈a，b〉≤π.

如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b.

α

两个非零空间向量的夹角：

O

两个非零平面向量的数量积是一个实数，等于这两个向量的模和它们夹角余弦值的乘积，即：

a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.

特别地，零向量与任意向量的数量积为0.

问题2平面向量的数量积是什么？类比给出空间向量数量积的运算

空间向量的数量积

已知非零向量a，b，|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积（innerproduct），记作a·b.即

a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.

特别地，零向量与任意向量的数量积为0.

（1）0·a=（选择0还是0）.

（2）对于两个非零向量a，b，a⊥b⟺a·b＝_______.

（3）a·a＝_____或|a|＝_______.

（4）若a，b同向，则a·b＝_______；若反向，则a·b＝_______.

（5）|a·b|____|a|·|b|

（6）若θ为a，b的夹角，则cosθ＝_______.

空间向量的数量积的性质：

证明垂直关系

求空间向量的长度

求向量夹角的余弦值

【例1】如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：

【解】

【例1】如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：

【解】

在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影：

A

B

A1

D

C

B1

N

M

M1

追问(4)类似地，在空间，向量a向向量b的投影有什么意义？

作法1

作法2

在空间中，由于向量a与向量b是自由向量，将向量a与向量b平移到同一平面α内

进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的投影向量c：

α

c

向量a向向量b投影：

投影向量c的长度？

向量a向直线l投影：

向量a向平面β投影：

c

A1

B1

注：向量a与投影向量c的夹角

就是向量a所在的直线与平面β所成的角

空间向量的投影向量

空间向量的投影向量

将空间向量a，b，平移到同一个平面α内，利用平面上向量的投影得到与向量b共线的向量c，即:

c=|a|cos〈a，b〉，

向量c称为向量a在向量b上的投影向量.

问题3空间向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明分配律？

平面向量的数量积运算律

①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；

②a·b＝b·a（交换律）;

③a·(b＋c)＝a·b＋a·c（分配律）.

空间向量的数量积运算律

①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；

②a·b＝b·a（交换律）;

③a·(b＋c)＝a·b＋a·c（分配律）.

a·(b＋c)＝a·b＋a·c（分配律）

A

O

B

C

分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c的证明

a

b

c

A

O

B

C

a

b

c

C’

分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c的证明

问题一由a·b＝0，能否得到a＝0或b＝0？

不一定！

因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝0，

所以|a|＝0或|b|＝0或cos〈a，b〉＝0.

即a＝0或b＝0或a⊥b.

问题二对于三个均不为零的实数a，b，c，若ab＝ac，则b＝c.对于非零向量a，b，c，由a·b＝a·c，能得到b＝c吗？

不一定！

由a·b=a·c，有a·(b－c）＝0.

从而有b＝c或a⊥(b－c）.

问题三对于三个均不为零的数a，b，c，若ab＝c，则或.那么对于向量a，b，若a·b＝k，能写成或吗？

不能！因为没有定义向量的除法运算.