空间向量及其线性运算高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修一.pptxVIP

1.1.1

空间向量及其线性运算

章头图展示的是一个做滑翔伞运动的场景，可以想象在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向大小各异的力，用图示法表示这些力

图1线缆同时受到来

自不同方向的支持力

图2跳伞运动员同时受到

重力、风力、绳索牵拉力

问题1平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？

平面向量的概念

空间向量的概念

平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模，

空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模，

问题2平面向量的表示？类比给出空间向量的表示

平面向量的表示法

空间向量的表示法

(1)有向线段

(1)有向线段

a

(2)字母a，b，c，…

(3)坐标表示：a＝(x，y)

(2)字母a，b，c，…

(3)坐标表示：a＝(x，y，z)

a

c

b

问题3几类特殊的平面向量？类比给出特殊的空间向量

平面向量的相关概念

零向量：

单位向量：

相等向量：

相反向量：

共线向量：

模为0的向量，记作0；零向量的方向任意；

模为1的向量；

模和方向都相同的两个向量，记作a＝b；

模相同，方向相反的两个向量，记作a＝－b；

空间向量的相关概念

方向相同或相反的两个非零向量

规定:零向量和任意向量共线.

(2)×空间向量可平行移动，相等向量起点可以不同．

(3)×缺少另一条件：方向相同．

(1)×缺少另一条件：长度相等．

(4)×它们的终点构成一个球面．

问题4平面向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则分别是什么？类比得出空间向量的运算定义及其运算法则？

平面向量的线性运算

(1)加、减运算：求两个平面向量的和与差的运算.

法则：三角形和平行四边形法则；

(2)数乘运算：实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：

①|λa|＝|λ||a|；

②若λ0，λa与a的方向相同；

若λ0，λa与a的方向相反；

若λ＝0，λa＝0.

平面向量的线性运算

空间向量的线性运算

α

由相等向量的概念可知，空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以平移使它们的起点重合。因为两相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空间向量都可以移到同一平面内，成为同一平面内的两个向量。

思考：空间向量是如何运算的呢？与平面向量的运算有什么关系吗？

空间向量的线性运算律

思考如何书写空间向量的加法结合律的证明呢？

b

a

c

b

在平行六面体ABCD－ABCD中，记

则a+(b+c)

＝

(a+b)+c

＝

所以有：a+(b+c)＝(a+b)+c.

a，b，c.

总结：对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.

G

M

探究：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量表达式,并标出化简结果的向量.(如图)

共线向量定理

方向向量

如右图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.

共面向量

注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面，

也可能不共面.

追问如何判断三个向量是否共面呢？你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系？

平面向量基本定理

若向量a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得：

p＝xa+yb.

α

若p在α内，则有p＝xa+yb；

若p＝xa+yb，则p在α内.

空间向量的共面向量定理

问题5如右图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，使.求证：E，F，G，H四点共面.

追问(1)如何证明E，F，G，H四点共面？

追问(2)如何证明这三个向量共面？

证明:因为四边形ABCD是平行四边形，

因此，

因此，