第一章三角形的证明1.3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的的性质与判定课件(共42张PPT）2023-2024学年北师大版八年级数学下册.pptxVIP

1.3线段的垂直平分线第一章三角形的证明第1课时线段的垂直平分线

问题引入某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ABC

观察：已知点A与点A′关于直线l对称，如果线段AA′沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2=90°，即直线l既平分线段AA′，又垂直于线段AA′.●●lAA′D21(A)线段垂直平分线的性质

我们把垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.知识要点

新课导入作线段AB的中垂线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量PA、PB的长，你能发现什么？ABMNCP

如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离之间的数量关系．ABlP1P2P3探究发现P1A____P1BP2A____P2BP3A____P3B＝＝＝

将△ABC沿直线l对折，由于l是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合.从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB.(A)(B)BAPl活动探究

猜想：点P1，P2，P3，…到点A与点B的距离分别相等．命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.由此你能得到什么结论？你能证明这一结论吗？

如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上.求证：PA=PB．证明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)．∴PA=PB．PABlC验证结论

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线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.线段垂直平分线的性质定理：总结归纳

判断：如图直线MN垂直平分线段AB，则AE=AF.（）练习ABMNFE×

例1如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为()A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cm典例精析C

解析：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm，又DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15(cm).故选C.方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．

练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为()A.6B.5C.4D.32.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm，边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长是.B10cmPABCD图①ABCDE图②

想一想你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上.即到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.逆命题到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.它是真命题吗？你能证明吗？线段垂直平分线的判定

想一想：如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？记得要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论

①当点P在线段AB上时，∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；②当点P在线段AB外时，如右图所示.∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形.过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C.∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.即PC⊥AB，且AC=