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习题L9-11：抛物线背景下的图形问题
参考答案与试题解析
2
1．已知直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝x+bx+c经
过A、B两点，点M在线段OA上，从O点出发，向点A以每秒1个单位的
速度匀速运动；同时点N在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒2个单
√
位的速度匀速运动，连接MN，设运动时间为t秒．
（1）求抛物线关系式；
（2）当t为何值时，△AMN为直角三角形．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（0，3）．
2
将A（﹣3，0）、B（0，3）代入y＝x+bx+c，得：
{9−3+=0，
=3
解得：{=4，
=3
2
∴抛物线解析式为y＝x+4x+3；
（2）
当运动时间为t秒时，点M的坐标为（﹣t，0），点N的坐标为（t﹣3，t），
∴AM＝3﹣t，AN=2t．
√
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∵△AMN为直角三角形，∠MAN＝45°，
∴△AMN为等腰直角三角形，如图，
当∠ANM＝90°时，有AM=2AN，即3﹣t＝2t，
√
解得：t＝1；
当∠AMN＝90°时，有t﹣3＝﹣t，
3
解得：t=．
2
3
综上所述：当t为1秒或秒时，△AMN为直角三角形．
2
2．如图，直线l：y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的
2
抛物线y＝x+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点Q在直线l下方的抛物线上时，过点Q作QD∥x轴交l于点D，
QE∥y轴交l于点E，求QD+QE的最大值；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形
为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请
说明理由．
【解答】解：（1）y＝﹣x+3，令y＝0，则x＝3，令x＝0，则y＝3，
∴点B、C的坐标为（3，0）、（0，3），
2
将点B、C的坐标代入y＝x+bx+c得：
2
0=3+3+
{3=0+0+，
解得：b＝﹣4，c＝3，
2
∴抛物线的表达式为：y＝x﹣4x+3；
2
（2）设Q（m，m﹣4m+3），
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∵QD∥x轴交l于点D，QE∥y轴交l于点E，点D，E都在直线y＝﹣x+3
上，
22
∴E（m，﹣m+3），D（﹣m+4m，m﹣4m+3），
22
∴QD+QE＝﹣m+4m﹣m+[（﹣m+3）﹣（m﹣4
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