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2010-2023历年福建南安一中高二上学期期中考试理科数学试卷（带解析）

第1卷

一.参考题库(共10题)

1.和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为（??）

A．

B．

C．

D．

2.(12分)在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点.

（Ⅰ）求证：命题“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；

（Ⅱ）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.

3.设点是曲线上的点，，则（???）

A．

B．

C．

D．

4.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为.设线段的中点为，若，则该椭圆离心率的取值范围为???????????.

5.(14分)设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）D是过三点的圆上的点，D到直线的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆的方程；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围，如果不存在，说明理由.

6.若点P到直线的距离比它到点（2,0）的距离小1，则点P的轨迹为（????）

A．圆

B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线

7.“”是“方程表示双曲线”的（???）.

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．既不充分也不必要条件

D．充要条件

8.(12分)如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且MD＝PD.

（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．

9.已知命题：，则（???）

A．

B．

C．

D．

10.命题“若则”的否命题是?????????????????????????????.

第1卷参考答案

一.参考题库

1.参考答案：D试题分析：由题意知.

考点：双曲线的定义，解直角三角形，合分比性质.

点评：根据条件判断出是解本小题的关键，然后据此可用c表示出.再结合双曲线的定义即可求出其离心率.

2.参考答案：（1）见解析

（2）逆命题是：“设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果,那么该直线过点T(3,0).”该命题是假命题.试题分析：(I)直线方程与抛物线方程联立，消去x后利用韦达定理判断=x1x2+y1y2=的值是否为3，从而确定此命题是否为真命题.

(II)根据四种命题之间的关系写出该命题的逆命题，然后再利用直线与抛物线的位置关系知识来判断其真假.

证明：（1）解法一：设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).

当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于

A(3,)、B(3,－)，∴=3.

当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0.

得ky2－2y－6k=0,则y1y2=－6.又∵x1=y12,x2=y22,?

∴=x1x2+y1y2==3.综上所述,命题“......”是真命题.

解法二：设直线l的方程为my=x－3与y2=2x联立得到y2-2my-6=0???=x1x2+y1y2

=(my1+3)(my2+3)+y1y2=(m2+1)y1y2+3m(y1+y2)+9=(m2+1)×(-6)+3m×2m+9＝3

（2）逆命题是：“设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果,那么该直线过点T(3,0).”该命题是假命题.??例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,

直线AB的方程为y=?(x+1),而T(3,0)不在直线AB上.

考点：四种命题之间的关系，直线与抛物线的位置关系，向量的数量积.

点评：本小题本质是以四种命题的关系为知识载体主要考查直线与抛物线的位置关系.由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x2,y2)满足,可得y1y2=－6.或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2,可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0).

3.参考答案：C试题分析：因为，所以,此方程表示的图像是由椭圆的四个顶点组成的四边形,显然在椭圆内部（除顶点外），因而.

考点：双曲线的方程，点与双曲线的位置关系.

点评：解本小题的突破口是把方程,化成作出其图像，可知它是由椭圆的四个顶点组成的四边形,显然在椭圆内部（除顶点外）,再结合双曲线的定义可知.

4.参考答案：试题分析：因为

即

,

.

考点：向量的几何运算，解一元二次不等式，椭圆的标准方程及其性质.

点评：解本小题的关键是把题目的条件最终转化为，

从而得到关于a,c的不等式，问题到此得解.