专题08 成对数据的统计分析综合【考点串讲】（解析）.docx

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专题08成对数据的统计分析综合

知识点一相关关系

1．相关关系的定义：两个变量有关系，但没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．

2．相关关系的分类

(1)按变量间的增减性分为正相关和负相关．

①正相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势；

②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势．

(2)按变量间是否有线性特征分为线性相关和非线性相关(曲线相关)．

①线性相关：如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关；

②非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，我们称这两个变量非线性相关或曲线相关．

知识点二相关关系的刻画

1．散点图：为了直观描述成对样本数据的变化特征，把每对成对样本数据都用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图，叫做散点图．

2．样本相关系数

(1)我们常用样本相关系数r来确切地反映成对样本数据(xi，yi)的相关程度，其中r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)?xi－\x\to(x)??yi－\x\to(y)?,\r(\i\su(i＝1,n,)?xi－\x\to(x)?2)\r(\i\su(i＝1,n,)?yi－\x\to(y)?2)).

(2)样本相关系数r的取值范围为[－1,1]．

①若r0时，成对样本数据正相关；

②若r0时，成对样本数据负相关；

③当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；

④当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．

知识点三一元线性回归模型

称eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Y＝bx＋a＋e，,E?e?＝0，D?e?＝σ2))为Y关于x的一元线性回归模型．其中Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx＋a之间的随机误差，如果e＝0，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述．

知识点四最小二乘法

将eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))叫做b，a的最小二乘估计，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)?xi－\x\to(x)??yi－\x\to(y)?,\i\su(i＝1,n,)?xi－\x\to(x)?2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).

知识点五残差与残差分析

1．残差

对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的eq\o(y,\s\up6(^))称为预测值，观测值减去预测值称为残差．

2．残差分析

残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．

知识点六分类变量

为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示．

知识点七2×2列联表

1．2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数．

2．定义一对分类变量X和Y，我们整理数据如下表所示：

X

Y

合计

Y＝0

Y＝1

X＝0

a

b

a＋b

X＝1

c

d

c＋d

合计

a＋c

b＋d

n＝a＋b＋c＋d

像这种形式的数据统计表称为2×2列联表．

知识点八独立性检验

1．定义：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”．简称独立性检验．

2．χ2＝eq\f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?)．其中n＝a＋b＋c＋d.

3．独立性检验解决实际问题的主要环节

(1)提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释．

(2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较．

(3)根据检验规则得出推断结论．

(4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．

考点1变量间相关关系的判断

【例1】对变量x，y有观测数据(xi