初中数学《二次函数》知识点.docxVIP

第二十二章二次函数

一、二次函数概念

（一）内容：一般地，形如?=???+??+?（a，b，c是常数，a≠0）的

函数，叫做二次函数；其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项

系数、一次项系数和常数项。

（二）二次函数一般式：?=???+??+?（a，b，c是常数，a≠0）

（三）二次函数成立的条件

1、函数解析式是整式；

2、化简后自变量的最高次数为2；

3、二次项系数不为0。

二、二次函数的图像和性质

（一）图像：二次函数?=???+??+?(?≠?)的图象是一条曲线，这条曲

线叫做抛物线?=???+??+?

。

（二）抛物线是轴对称图形，抛物线与其对称轴的交点叫做抛物线的顶点，

顶点是抛物线的最低点或最高点。

（三）二次函数?=???(?≠?)的图像和性质

1、用描点法画二次函数?=???的图象的一般步骤

（1）列表：让x取一些有代表性的值，求出对应的y值，列出表格，一般

取原点（0，0），在y轴的两侧各取2个或3个点，注意对称取点。

（2）描点：在平面直角坐标系内，描出相应的点，一般先描出y轴一侧的

几个点，再根据对称性找出y轴另一侧的几个点。

（3）连线：按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线（顶端不能画成尖的）

依次连各点，并向两端无限延伸（注意曲线两端要出头）。

注：①一般来说，取的点越多，图像越精确。②抛物线是向两端无限延伸的，

左右两侧应关于对称轴对称。

2、二次函数?=???(?≠?)的图像和性质

?=???(?

?0

?0

≠?)

图像

开口方向

对称轴

向上

向下

y轴或x=0

（0，0）

顶点坐标

当x0时，y随x的增大而减

小；

当x0时，y随x的增大而增大；

增减性

当x0时，y随x的增大而增当x＞0时，y随x的增大而减小。

大。

最值

当

?=0时，?最小=0

当?=0时，?最大=0

注：对于抛物线?=???，a的符号决定抛物线的开口方向；|a|的大小决定

抛物线的开口程度，|a|越大，抛物线开口越小，|a|相等说明抛物线的开口大小

相同。

（四）二次函数?=???+?(?≠?)的图象和性质

与

1、二次函数?=???+??=???

图象间的关系

二次函数?=???+?的图象可以由二次函数?=???沿y轴向上（k0）或

向下（k0）平移|k|个单位长度得到（上加下减常数项）。

2、二次函数?=???+?(?≠?)的图象和性质

?=???+?(?

≠?)

?0

?0

?0

?0

?0

?0

图像

开口方向

对称轴

向上

向下

y轴或x=0

（0，k）

顶点坐标

当?0时，y随x的增大而当?0时，y随x的增大而

减小；增大；

当?0时，y随x的增大而当?0时，y随x的增大而

增大。减小。

增减性

最值

当

x=0时，?最小=k

当?=0时，?最大=k

?0

注：（1）对于二次函数?=???或?=???+?，当

时，若

A(?,?),B(?,?)在抛物线上，且|?||?|，则有??。

?

?

?

?

?

?

?

?

（2）对于二次函数?=???或?=???+?，当

?0

时，若

A(?,?),B(?,?)在抛物线上，且|?||?|，则有??。

?

?

?

?

?

?

?

?

（五）二次函数?=?(???)?的图象和性质

1、二次函数?=?(???)?与?=???图象间的关系

二次函数?=?(???)?的图象可以由二次函数?=???沿x轴向右（h0）

或向左（h0）平移|h|个单位长度得到（左加右减自变量）。

2、二次函数?=?(???)?的图象和性质

?=?(???)?

(?≠?)

?0

?0

?0

?0

?0

?0

图像

开口方向

对称轴

向上

向下

x=h

顶点坐标

（h，0）

当??时，y随x的增大而减当??时，y随x的增大而增

小；大；

当??时，y随x的增大而增当??时，y随x的增大而减

大。小。

增减性

最值

当

x=h时，?最小=0

当?=h时，?最大=0

（六）二次函数?=?(???)?+?的图象和性质

1、二次函数?=?(???)?+?（顶点式）与?