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大学高等数学计算题专题训练

一、导数和微分

导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。

微分则是导数的几何意义，表示了函数图像在某一点上的切线斜率。

下面将通过几个实例来训练计算导数和微分的能力。

1.计算函数f(x)=3x^2-2x+1的导数。

解：首先，我们可以直接使用求导法则计算导数。对于f(x)=3x^2

-2x+1，依次对各项应用求导法则得到：

f(x)=d/dx(3x^2)-d/dx(2x)+d/dx(1)=6x-2

因此，函数f(x)的导数为f(x)=6x-2。

2.计算函数y=e^x/x的导数。

解：对于这个函数，我们需要使用到求商法则。首先，计算分子和

分母的导数：

d/dx(e^x)=e^x

d/dx(x)=1

然后，按照求商法则计算导数：

y=(e^x*x-x*e^x)/(x^2)=(e^x-x*e^x)/(x^2)

因此，函数y=e^x/x的导数为y=(e^x-x*e^x)/(x^2)。

3.求函数f(x)=cos(x)在x=π/4处的微分。

解：微分可以通过导数来计算，我们先计算函数f(x)在x=π/4处

的导数：

f(x)=d/dx(cos(x))=-sin(x)

然后，将导数代入微分的公式中：

df=f(x)*dx=-sin(x)*dx

在x=π/4处，dx=π/4-x，代入后可得：

df=-sin(π/4)*(π/4-x)

因此，函数f(x)=cos(x)在x=π/4处的微分为df=-sqrt(2)/2*(π/4-

x)。

二、定积分和不定积分

定积分和不定积分是微积分中另外两个核心概念，用于求解曲线下

的面积或者计算函数的原函数。下面通过实例来训练计算定积分和不

定积分的能力。

1.计算定积分∫[0,1]2xdx。

解：对于这个定积分，我们直接使用积分的基本公式计算：

∫[0,1]2xdx=x^2|[0,1]=1^2-0^2=1

因此，定积分∫[0,1]2xdx的值为1。

2.计算不定积分∫2xdx。

解：不定积分可以通过积分的基本公式计算，同时需要考虑到积分

常数。对于∫2xdx，我们可以直接使用积分的基本公式得到不定积分：

∫2xdx=x^2+C

其中，C为积分常数。因此，不定积分∫2xdx的值为x^2+C。

三、级数和收敛性

级数是数学中的一个重要概念，通常用于无穷多项之和的计算。收

敛性则是判断级数之和是否有限的性质。下面通过几个实例来训练计

算级数和判断收敛性的能力。

1.判断级数∑(n=1to∞)1/2^n是否收敛。

解：这个级数是一个等比级数，通项为1/2^n。我们可以计算出级

数的部分和：

S_n=1/2+1/4+1/8+...+1/2^n

进一步化简得到：

S_n=(1-1/2^n)/(1-1/2)=2-1/2^n

当n趋向于无穷大时，1/2^n趋向于0，因此部分和S_n趋向于2。

由此可知，级数∑(n=1to∞)1/2^n收敛于2。

2.计算级数的和∑(n=1to∞)(1/n^2)。

解：这个级数是一个调和级数，通项为1/n^2。我们可以使用数学

知识推导出该级数的和的形式：

∑(n=1to∞)(1/n^2)=π^2/6

因此，级数∑(n=1to∞)(1/n^2)的和为π^2/6。

通过以上几个实例的训练，相信大家对于大学高等数学中的计算题

有了更深入的理解，对于导数、微分、定积分、不定积分、级数和收

敛性也有了更好的掌握。希望大家能够在实践中灵活运用这些知识，

提高数学解题的能力。