材料力学数值方法：有限差分法(FDM)：材料力学基础理论.pdf

材料力学数值方法：有限差分法(FDM)：材料力学基础理论

1材料力学数值方法：有限差分法(FDM)

1.1绪论

1.1.1有限差分法的历史与发展

有限差分法(FiniteDifferenceMethod,FDM)作为数值分析中的一种经典方法，

其历史可以追溯到17世纪，当时牛顿和莱布尼茨在微积分的创立过程中就已经

使用了差分的概念。然而，FDM真正作为工程和科学计算中的重要工具，是在

20世纪随着计算机技术的发展而兴起的。在材料力学领域，FDM被广泛应用于

求解弹性力学、塑性力学、断裂力学等问题，特别是在处理复杂边界条件和非

线性材料行为时，FDM提供了灵活而强大的解决方案。

1.1.2FDM在材料力学中的应用概述

在材料力学中，FDM主要用于求解偏微分方程，这些方程描述了材料在各

种载荷作用下的应力、应变和位移分布。通过将连续的物理域离散化为一系列

网格点，FDM将偏微分方程转换为网格点上的代数方程组，从而可以使用数值

方法求解。这种方法特别适用于一维、二维和三维的静态和动态问题，包括但

不限于：

弹性问题：求解弹性体在静载荷或动载荷作用下的应力和位移。

塑性问题：分析材料在塑性变形阶段的应力应变关系。

断裂问题：预测材料在裂纹扩展过程中的行为。

1.1.2.1示例：一维弹性杆的有限差分法求解

假设我们有一根长度为L的一维弹性杆，两端固定，受到均匀分布的轴向

载荷作用。我们可以通过FDM来求解杆内的应力分布。首先，将杆离散化为N

个等间距的网格点，每个网格点的间距为h。然后，使用中心差分公式近似二

阶导数，将弹性杆的微分方程转换为网格点上的代数方程组。

微分方程为：

2

=−

2

其中，是位移，是轴向载荷，是弹性模量，是截面积。

中心差分公式为：

2

−2+

11

≈

2ℎ2

将上述公式代入微分方程，得到网格点上的代数方程：

1

−2+

11

=−

ℎ2

通过迭代求解这个方程组，我们可以得到每个网格点上的位移，进而计

算出应力分布。

1.1.2.2代码示例

importnumpyasnp

#参数设置

L=1.0#杆的长度

N=100#网格点数

h=L/(N-1)#网格间距

E=200e9#弹性模量

A=0.01#截面积

F=1000#轴向载荷

#初始化位移向量

u=np.zeros(N)

#边界条件

u[0]=0#左端固定

u[-1]=0#右端固定

#构建并求解代数方程组

foriinrange(1,N-1):

u[i]=(u[i-1]+u[i+1]-h**2*F/(E*A))/2

#计算应力

stress=-F/A

print(网格点上的位移：,u)

print(杆内的应力：,stress)

1.1.3注意事项