材料力学数值方法：有限差分法(FDM)：有限差分法的离散化过程.pdf

材料力学数值方法：有限差分法(FDM)：有限差分法的离散

化过程

1绪论

1.1有限差分法的基本概念

有限差分法（FiniteDifferenceMethod,FDM）是一种数值分析方法，用于求

解微分方程的近似解。在材料力学中，许多问题如应力分析、热传导、流体动

力学等，都可以归结为微分方程的求解。FDM通过将连续的微分方程离散化为

一系列差分方程，从而将问题转化为代数方程组，便于计算机求解。

1.1.1离散化过程

离散化过程涉及将连续的区域（如材料的几何形状）划分为有限数量的离

散点或网格。在这些网格点上，微分方程被近似为差分方程。例如，一维空间

中的二阶导数可以被近似为：

2ℎ−−ℎ

∂+2+

≈

∂ℎ2

ℎ

其中，待求解的函数，是网格间距。

1.1.2代码示例

假设我们有一个简单的二阶微分方程：

2

∂

2

=−sin

2

∂

边界条件为：

0=1=0

我们可以使用FDM来求解这个方程。下面是一个Python代码示例：

importnumpyasnp

importmatplotlib.pyplotasplt

#定义网格参数

N=100#网格点数

h=1.0/(N-1)#网格间距

x=np.linspace(0,1,N)#网格点

#初始化u数组

u=np.zeros(N)

1

#定义二阶导数的差分矩阵

A=np.diag(np.ones(N-1),-1)+np.diag(-2*np.ones(N),0)+np.diag(np.ones(N-1),1)

A[0,0]=1

A[N-1,N-1]=1

#定义右侧函数

f=-np.pi**2*np.sin(np.pi*x)

#求解线性方程组

u=np.linalg.solve(A,f)

#绘制结果

plt.plot(x,u,label=FDMSolution)

plt.plot(x,np.sin(np.pi*x),--,label=ExactSolution)

plt.legend()

plt.show()

这段代码首先定义了网格参数和边界条件，然后构建了二阶导数的差分矩

阵，并求解了线性方程组。最后，它将FDM的解与精确解进行比较并绘制。

1.2有限差分法在材料力学中的应用

在材料力学中，FDM被广泛应用于求解弹性力学、热传导、流体力学等问

题。例如，对于弹性力学中的平面应力问题，可以使用FDM来求解应力和位移

的分布。

1.2.1示例：平面应力问题

考虑一个矩形平板，受到均匀的横向力作用。我们可以使用FDM来求解平

板内的应力分布。下面是一个简化版的Python代码示例，用于构建平面应力问

题的有限差分模型：

importnumpyasnp

#定义材料参数

E=200e9#弹性模量

nu=0.3#泊松比

mu=E/(2*(1+nu))#切变模量

lmbda=E*nu/((1+nu)*(1-2*nu))#拉梅常数

#定义网格参数

N_x=100#x方向网格点数

N_y=50#y方向网格点数

h=0.01#网格间距

#初始化应力和位移矩阵