1.2　空间向量基本定理 练习册正文.docxVIP

1.2空间向量基本定理

一、选择题

1.下列说法中正确的是 ()

A.任何三个不共线的向量可构成空间的一个基底

B.空间的基底有且仅有一个

C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底

D.直线的方向向量有且仅有一个

2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=a,AD=b,AA1=c,则用向量a,b,c可表示向量BD1

A.a+b+c B.a-b+c

C.a+b-c D.-a+b+c

3.[2024·广东湛江二十一中高二期中]已知{a,b,c}是空间的一个基底,若p=a+b,q=a-b,则 ()

A.a,p,q可构成空间的一个基底

B.b,p,q可构成空间的一个基底

C.c,p,q可构成空间的一个基底

D.p,q与a,b,c中的任何一个都不能构成空间的一个基底

4.已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,向量a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,若d=xa+yb+zc,则x,y,z的值分别为 ()

A.52,-1,-12 B.5

C.-52,1,-12 D.52

5.已知三棱柱ABC-A1B1C1各条棱的长都相等,且∠BAA1=∠CAA1=60°,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 ()

A.23 B.

C.66 D.

6.[2024·河北邢台高二期末]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在棱BB1和DD1上,且DF=12DD1.记EF=xAB+yAD+zAA1,若x+y+z=14,则BE

A.12 B.14 C.13

7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱D1D的中点,P,Q分别为线段B1D1,BD上的点,且3B1P=PD1,若PQ⊥AE,BD=λDQ,则λ的值为 ()

A.3 B.4 C.-3 D.-4

8.(多选题)[2024·郑州高二期中]下列说法中正确的有 ()

A.已知a∥b,则a,b与任一向量都不能构成空间的一个基底

B.设A,B,M,N是空间中的四个点,若BA,BM,BN不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N四点共面

C.设O是空间中任一不与P,A,B,C重合的点,若OP+OA+OB+OC=0,则P,A,B,C四点共面

D.已知a,b,c可构成空间的一个基底,若m=a+c,则a,b,m也可构成空间的一个基底

9.(多选题)如图,在三棱锥D-ABC中,AB,AC,AD两两夹角均为π3,且|AB|=|AC|=12|AD|=1,若G,M分别为棱AD,BC的中点,则 (

A.|MG|=3

B.|MG|=3

C.异面直线AC与DB所成角的正弦值为33

D.异面直线AC与DB所成角的正弦值为3

二、填空题

10.已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以从向量a,b,c,a+b,a-b,a+c,a-c,b+c,b-c中选出三个向量构成空间的一个基底,请你写出一个不同于{a,b,c}的基底:.?

11.[2024·河南信阳信合外国语高级中学高二期中]如图,在正四面体P-ABC中,M,N分别为PA,BC的中点,D是线段MN上一点,且ND=2DM,若PD=xPA+yPB+zPC,则x+y+z的值为.?

12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱A1A和B1B的中点,则异面直线CM和D1N所成角的余弦值为.?

三、解答题

13.如图所示,在三棱柱ABC-ABC中,设AA=a,AB=b,AC=c,M是BC的中点,N是BC的中点,用基底{a,b,c}表示以下各向量

(1)AM;(2)AN.

14.[2024·江西宜春高二期中]如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1D1,CD的中点,且∠B1BC=∠B1BA=π3,∠CBA=π2,AB=BC=3,BB1=

(1)求线段EF的长度;

(2)求直线AD与直线EF夹角的余弦值.

15.[2024·广东揭阳普宁二中高二期中]如图,在三棱锥O-ABC中,点G为△ABC的重心,点M是线段OG上靠近点G的三等分点,过点M的平面分别交棱OA,OB,OC于点D,E,F,若OD=kOA,OE=mOB,OF=nOC,则1k+1m+1n=

A.29 B.

C.32 D.

16.如图,在四面体A-BCD中,E,F,G,H,K,M分别为棱AB,BC,CD,DA,BD,AC的中点,且EG=FH=KM,求证:AB⊥CD,AC⊥BD,AD⊥BC.