等式与不等式性质（第一课时）高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.pptxVIP

第2章

2.1等式与不等式性质（第1课时）

能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.

初步掌握用作差法比较两实数的大小．

掌握重要不等式的证明方法及等号条件

在现实世界与日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系，两者都是基本的数量关系.

在数学中，我们用不等式来表示不等关系.

文字语言

数学符号

文字语言

大于

＞

大于，高于，超过

小于

＜

小于，低于，少于

大于或等于

≥

至少，不少于，不低于

小于或等于

≤

至多,不多于,不超过

在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．

用不等号表示不等关系的式子

文字语言

大于

高于

超过

多于

小于

低于

少于

大于等于至少

不低于

小于等于

至多

不多于

不超过

符号语言

≥

≤

你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?

（1）某路段限速40km/h；

（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，

蛋白质的含量p应不少于2.3%；

（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；

（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．

问题1

对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/h，则0v40．

你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?

（1）某路段限速40km/h；

（2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，

蛋白质的含量p应不少于2.3%；

（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；

（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．

问题1

对于（3），设△ABC的三条边为a，b，c，则a+bc，a－bc．

对于（4），设C是直线AB外任意一点，CD垂直于AB，垂

足为D，E是直线AB上不同于D的任意一点，则CDCE．

问题2

你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?

某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元?

设提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为：

练习1

某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4m；

练习2

如图，在一个面积小于350m2的矩形地基中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍.

如何解上述不等式呢？与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质．为此，我们需要先研究不等式的性质．

在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质．那么，这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？

回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实．

这个基本事实可以表示为：

从上述基本事实可知：要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小．

分析：通过考查这两个多项式的差与0的大小关系，

可以得出它们的大小关系．

这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数（式）．

这是解决不等式问题的常用方法．

作差法比较大小的基本步骤：

（1）作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；

（2）变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)；

（3）判断符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；

（4）作出结论．

这种比较大小的方法通常称为作差比较法．

其思维过程：作差→变形→判断符号→作出结论，

其中变形是判断符号的前提．

等式性质与不等式性质

等式性质

不等式性质

图2.1-3是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？

讨论并回答下列问题

（1） 表达大正方形ABCD的面积；

（2） 表达任意一个小直角三角形的面积；

（3） 表达大正方形ABCD的面积与四个相同的直角三角形的面积之和的关系；并给出证明.

（4） 当a、b大小发生改变时，问题(3)中的关系能否相等，如果相等，则应该满足什么条件呢？

中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数