用空间向量研究位置关系(一)高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册.pptxVIP

1.4.1

用空间向量研究直线、平面的位置关系

对应关系

点

直线

平面

?

对应关系

问题1：利用空间向量解决立体几何问题的关键

是什么？

空间向量

立体几何

如何表示？

思考1.如何用向量表示空间中的一个点？

思考2：如何用向量表示空间中的直线l？

我们知道，空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l，

即

进一步地，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使

①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.

空间中直线的向量表示：

注意：点A和向量a不仅能确定直线l的位置，还可以表示出直线l上的任意一点.

思考3：已知直线上两点，如何求直线的方向向量？

练习：已知直线l上两点A(1，4，3)，B(2，2，5)，请写出直线l的一个方向向量___________

练习

思考4.一个定点和两个定方向能否确定一个平面？

追问：如何用向量表示空间中的平面ABC？

进一步地，如图，取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y使，

也即

我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式.由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

思考5.一个定点和一个定方向，能否确定一个平面？

我们知道，给定空间一点A和一条直线l，

则过点A且垂直于l的平面是唯一确定的.由此，

我们可以利用点A和直线l的方向向量来确定平

面.如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量，

则向量叫做平面的法向量.

给定一点A和一个向量，那么过点A，以向量为法向量的平面是完全确定的，可以表示为集合.

注意：1.法向量一定是非零向量

2.一个平面的所有法向量都互相平行

如图，在长方体中,AB=4，BC=3,=2,M是AB的中点.以D为原点,DA,DC,所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

（1）求直线CD的方向向量；

（2）求平面的法向量；

（3）求平面的法向量.

例

（1）求直线CD的方向向量；

解：

所以直线CD的方向向量是

（1）依题意可知,D(0,0,0),C(0,4,0),

追问：直线CD还有其他的方向向量吗？

共线向量

（2）求平面的法向量；

解：

所以面.

所以平面的一个法向量是

因为在长方体中，

追问：平面还有其他的法向量吗？

共线向量

（3）求平面的法向量；

解：

所以M(3,2,0),C(0,4,0),A1(3,0,2).

所以

设是平面的

法向量，则

因为AB=4,BC=3,CC1=2,M是AB的中点,

所以

所以

取z=3,则x=2,y=3.于是是平面的一个法向量.

向量名称

图示

求法

直线的方向向量

平面的法向量

直线的方向向量和平面的法向量的求法

例题小结

③列方程组；

④解方程组，得出结论.

②l的方向向量即为平面的法向量.

①取两点；

②定向量.

求平面的法向量的步骤：

（1）设平面的法向量；

（2）找出（求出）平面内两个不共线的向量的坐标

；

（3）根据法向量的定义建立关于x,y,z的方程组

（4）解方程组,取其中一组解,即得法向量.

例题小结

直线与直线的平行

如图，设，分别是直线l1，l2的方向向量.由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行.所以

直线与平面的平行

平面与平面的平行

a

b

P

例题

a

b

P

已知：如图,

求证：.

所以