数列的极限市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件.pptx

第一章三、收敛数列的性质二、数列极限的定义第二节数列的极限一、极限思想的形成和发展简史

早在古希腊时期,欧多克斯(Eudoxus约公元前408-355)就提出了穷竭法.这是极限理论的先驱.我国庄子(公元前355-275)《天下篇》中说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,也含有极限的思想.公元263年,我国数学家刘徽为《九章算术》作注时提出“割圆术”,用正多边形逼近圆周.这是极限思想成功的应用.一、极限思想的形成和发展简史极限思想是人类智慧的延伸,是人们通过有限时空认识无限时空的法宝,同时也是启动近当代数学科学大门的金钥匙．(刘徽割圆术)

十七世纪下半叶,牛顿,莱布尼兹创立了微积分学.由于受当时的条件所限,牛顿、莱布尼兹创立的微积分学是不严密的.因此,在微积分诞生后来,曾就它的基础是与否稳固发生过一场大的争论.为了使微积分建立在严密的基础之上,涉及费马、马克劳林、泰勒等在内的大数学家做了诸多尝试,路子比较对的是达朗贝尔,他将微积分的基础归结为极限,并认为极限是“一种变量趋近于一种固定量,趋近的程度不大于任何固定的量”,但是他没有沿着这条路走终究．

严密的分析是从波尔察诺,阿贝尔和柯西开始的.1821年,法国理工科大学专家柯西写了《分析教程》一书,其中将极限定义为“若代表某变量的一串数值无限地趋向于某一数值,其差可任意小,则该固定值为这一串数值的极限”.但是他的叙述中仍有“无限趋向”,“要多小有多小”之类的语言,仍然是不严格的.最后,德国数学家威尔斯特拉斯完全摆脱了几何直观所带来的含糊概念,得到了现今广泛采用的极限的严密定义.柯西

二、数列的极限1.数列的定义与性质这个由数构成的序列称为数列，定义1

例如1)数列可看作数轴上的动点.2)数列是整标函数：阐明：

有界性数列的性质：单调性

问题1当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题2“无限靠近”的含义是什么?如何用精确数学语言刻划它?2.数列极限的定义考察数列

定义设为一数列,如果存在常数,对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数,使得当不等式时，都成立,则称常数为数列的极限,或者称数列收敛于,记为或如果不存在这样的数，就说数列没有极限,或称数列是发散的.习惯上也说不存在.

阐明即

例如,收敛

趋势不定发散的两种状况

例1证明数列的极限为1.证欲使即只要因此,取则当时,就有故已知

例2证明等比数列证欲使只要即亦即的极限为0.设

因此,取,则当nN时,就有故

三、收敛数列的性质证及且取因故存在N1,从而1收敛数列的极限唯一.使当nN1时,假设用反证法.

同理,因故存在N2,使当nN2时,有从而矛盾,因此收敛数列的极限必唯一.则当nN时,故假设不真!满足的不等式

2.收敛数列一定有界.证取则当时,从而有取则有由此证明收敛数列必有界.阐明:例如,虽有界但不收敛.有数列设此性质反过来不一定成立.

3.收敛数列含有保号性.若且证对a0,有则取则

推论:若数列从某项起(用反证法证明)4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.在数列中任意抽取无限多项并保持在原数列阐明：的一个中的先后顺序而得到的一个新数列,称为数列子列.

由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，发散!则原数列一定发散.阐明:

第一章第三节自变量变化过程的六种形式:本节内容:函数的极限1.自变量趋于无穷大时函数的极限一、函数极限的概念

定义2不不大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释:记作A为函数1.自变量趋于无穷大时函数的极限设函数

直线y=A为曲线的水平渐近线.普通地,有若,则称直线为函数的一条水平渐近线．的图形

注记：，当时，有．1）定义2能够简朴地表述为：2）同样能够得到单侧极限的定义：，当时，有ii），当时，有且有关系：i）．．

例1证取因此注:就有故欲使只要证明

例2证对此式进行适宜放大．证明．由于当时，有．

又因当时，因此有有综上述，故当时，有

因此，当时，只要即便有故取时，恒有由定义，有．则当对任意给定的正数

例3证；可知不存在．证明不存在．由于，，因此

内容小结1.数列极限的“?–N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限思