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模块二常见模型专练
专题32几何图形中的最值问题(含隐圆)
最值问题一阿氏圆问题
例(广西中考真题)如图,在ABC中,==,点,分别是,的中点,点
12020··RtABAC4EFABACP
1
是扇形AEF的上任意一点,连接BP,CP,则BP+CP的最小值是_____.
EF
2
例2(2019·山东·统考中考真题)如图1,在平面直角坐标系中,直线y=﹣5x+5与x轴,y轴分别交于
2
A,C两点,抛物线y=x+bx+c经过A,C两点,与x轴的另一交点为B
(1)求抛物线解析式及B点坐标;
(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点,连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时,四边形AMBC
面积最大,求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积;
1
(3)如图2,若P点是半径为2的⊙B上一动点,连接PC、PA,当点P运动到某一位置时,PC+PA的
2
值最小,请求出这个最小值,并说明理由.
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模型建立:已知平面上两点A、B,则所有符合=k(k>0且k≠1)的点P会组成一个圆.这个结论最先
由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,称阿氏圆.
阿氏圆基本解法:构造三角形相似.
模型解读:
如图1所示,⊙O的半径为r,点A、B都在⊙O外,P为⊙O上的动点,已知r=k·OB.连接PA、PB,
则当“PA+k·PB”的值最小时,P点的位置如何确定?
1:连接动点至圆心0(将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接),即连接OP、OB;
2:计算连接线段OP、OB长度;
3:计算两线段长度的比值;
4:在OB上截取一点C,使得构建母子型相似:
5:连接AC,与圆0交点为P,即AC线段长为PA+K*PB的最小值.
本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小,(如图2)在线段OB上截取OC使OC=k·r,则可说明△BPO
与△PCO相似,即k·PB=PC.
∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PC”的最小值,即A、P、C三点共线时最小(如图3),
时AC线段长即所求最小值.
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【变式】(全国九年级专题练习)如图,已知正方形的边长为,⊙的半径为,点是
12022··ABCD4B2P
1
⊙B上的一个动点,则PD﹣PC的最大值为_____.
2
【变式2】(2022·全国·九年级专题练习)如图,在△ABC中,∠ACB90°,BC12,AC9,以点C为圆心,
6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD,则2AD+3BD的最小值是________.
ACB60OACBP
【变式】(秋浙江九年级专题练习)如图所示,,半径为的圆内切于.为
32022··2
OP
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