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平行四边形的存在性问题
考向二次函数中的平行四边形的存在性问题
【母题来源】2021年中考西藏卷
2
【母题题文】在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x+bx+c与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A
的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，5）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图（甲）．若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；
（3）图（乙）中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2
【答案】（1）将A的坐标（﹣1，0），点C的坐（0，5）代入y＝﹣x+bx+c得：
0=−1−+=4
，解得，
5==5
2
∴抛物线的解析式为y＝﹣x+4x+5；
（2）过P作PD⊥x轴于D，交BC于Q，过P作PH⊥BC于H，如图：
22
在y＝﹣x+4x+5中，令y＝0得﹣x+4x+5＝0，
解得x＝5或x＝﹣1，
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∴B（5，0），
∴OB＝OC，△BOC是等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，∵PD⊥x轴，
∴∠BQD＝45°＝∠PQH，
∴△PHQ是等腰直角三角形，∴PH=，
2
∴当PQ最大时，PH最大，
设直线BC解析式为y＝kx+5，将B（5，0）代入得0＝5k+5，
∴k＝﹣1，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+5，
2
设P（m，﹣m+4m+5），（0＜m＜5），则Q（m，﹣m+5），
225225
−+
∴PQ＝（﹣m+4m+5）﹣（﹣m+5）＝﹣m+5m＝﹣（m），
24
525
∵a＝﹣1＜0，∴当m=时，PQ最大为，
24
5535
∴m=时，PH最大，即点P到直线BC的距离最大，此时P（，）；
224
（3）存在，理由如下：
2
抛物线y＝﹣x+4x+5对称轴为直线x＝2，
2
设M（s，﹣s+4s+5），N（2，t），而B（5，0），C（0，5），
①以MN、BC为对角线，则MN、BC的中点重合，如图：
25+0
=
22=3
∴2，解得，
−+45+0+5=−3
=
22
∴M（3，8），
②以MB、NC为对角线，则MB、NC的中
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