专题25 直角三角形存在性问题（教师版）.pdfVIP

直角三角形存在性问题

考向1二次函数中的直角三角形存在性问题

【母题来源】2021年中考四川省巴中卷

2

【母题题文】已知抛物线y＝ax+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的表达式；

PMPM

（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；

AMAM

（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，

请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

2

【答案】（1）将点A（﹣2，0）、B（6，0）、C（0，﹣3）代入y＝ax+bx+c，

1

4a−2b+c=0a=

4

得36a+6b+c=0，解得，

b=−1

c=−3

c=−3

12

=

∴yx﹣x﹣3；

4

（2）如图1，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，

MPPF

∴PF∥AE，∴=，

AMAE

设直线BC的解析式为y＝kx+d，

1

6+=0=1

=

∴，∴2，∴yx﹣3，

=−32

=−3

11

2

设P（t，t﹣t﹣3），则F（t，t﹣3），

42

112123

=−=−+

∴PFt﹣3t+t+3tt，

2442

∵A（﹣2，0），

∴E（﹣2，﹣4），

∴AE＝4，

123

−+2123129

4

===−+=−+

∴tt（t﹣3），

41681616

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915

∴当t＝3时，有最大值，∴P（3，−）；

164

15

（3）∵P（3，−），D点在l上，

4

如图2，当∠CBD＝90°时，

过点B作GH⊥x轴，过点D作DG⊥y轴，DG与GH交于点G，过点C作CH⊥y轴，CH与GH交于点H，

∴∠DBG+∠GDB＝90°，∠DBG+∠CBH＝90°，

∴∠GDB＝∠CBH，∴△DBG∽△BCH，